CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €3 000，按季度复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0003.6% / 4n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 13 年内每月月末存入 €500。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5003% / 12N = 156

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 4 年内每年年末产生 €27 000，之后可以以 €15 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €27 000S = €15 000n = 4r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €36 000, €30 000, €22 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 000CF₂ = 30 000CF₃ = 22 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 4%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 3YTM = 5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 14%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 14%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 1.25。税率为 21%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1.25T = 21%r_f = 1.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：25, 57, 33, 14, 11, 31。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。求成绩 531.3 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 25x = 531.3

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.35, 0.25, 0.1

Var(X) =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.1 赢得 €15，以概率 0.02 赢得 €30；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€15: p = 0.1€30: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 176.25 和 179.75 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 176.25x₂ = 179.75

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 85% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分85%

x = 分

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 43 h，已知标准差 7 h。型号 2：30 部手机，均值 51.5 h，已知标准差 17 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 50x̄₁ = 43 hσ₁ = 7 hn₂ = 30x̄₂ = 51.5 hσ₂ = 17 h90%

下限 = h

16.置信区间困难

总体标准差为 31。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 31E = 1.590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 52.63，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 52.63s = 10n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

36 次测量的样本均值为 507.3。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的上限 U。

x̄ = 507.3σ = 20n = 3699%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 21？

n = 5ŷ = 21

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 4142 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·9 = 36

终值

FV = 3 000·(1 + 0.009)³⁶ = 3 000·1.381 = €4 141.93

答案

FV = €4 141.93

2.货币的时间价值

答案: FV = 95252 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·13 = 156

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1.476 − 1)/0.0025 = €95 252.43

答案

FV = €95 252.43

你自己存入了 €78 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −8459 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

27 000·3.037 = 82 008.43

残值的现值

15 000/1.574 = 9 532.77

NPV

NPV = −100 000 + 82 008.43 + 9 532.77 = −€8 458.80

答案

NPV = −€8 458.80

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 38.35 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 2 069.30

NPV(40%) = −962.10

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·2 069.30/(2 069.30 − (−962.10)) = 38.41%

精确: NPV(38.35%) = 0 → IRR = 38.35%

答案

IRR = 38.35%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1135 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.02, N = 10

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8203)/0.02 = €314.39

面值的现值

€1 000·0.8203 = €820.35

价格

P = €1 134.74

答案

P = €1 134.74

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 2.939 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 20/1.05 = 19.05, t·PV = 19.05

t = 2: 20/1.103 = 18.14, t·PV = 36.28

t = 3: 1020/1.158 = 881.11, t·PV = 2 643.34

久期

P = 918.30

D = 2 698.67/918.30 = 2.939

答案

D = 2.939 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.21 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·14% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.25) = 10.21%

答案

WACC = 10.21%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 12.07 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.79·0.4) = 1.064

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.064·(1 + 0.79·1.25) = 2.114

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 2.114·5% = 12.07%

答案

r_e = 12.07%

9.描述统计

答案: s = 16.54

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 171/6 = 28.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−3.5)² + 28.5² + 4.5² + (−14.5)² + (−17.5)² + 2.5² = 1368

标准差

s = √(1368/5) = 16.54

答案

s = 16.54

10.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (531.3 − 500)/25 = 1.25

答案

z = 1.25

11.概率

答案: Var(X) = 0.9275

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.3 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.1 = 2.15

平方的均值

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.1 = 5.55

方差

Var(X) = 5.55 − 2.15² = 0.9275

答案

Var(X) = 0.9275

12.概率

答案: E(G) = −0.9 €

净结果

G: 12 (p = 0.1), 27 (p = 0.02), −3 (p = 0.88)

期望值

E(G) = 12·0.1 + 27·0.02 − 3·0.88 = −0.9 €

答案

E(G) = −0.9 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.1974

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (176.25 − 178)/7 = −0.25

z₂ = (179.75 − 178)/7 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−0.25) = 0.5987 − 0.4013 = 0.1974

答案

P = 0.1974

14.正态分布

答案: x = 115.6 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.85

由表得到的 z

z ≈ 1.04

回到原来的单位

x = 100 + 1.04·15 = 115.6 分

答案

x = 115.6 分

15.置信区间

答案: 下限 = −13.86 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 43 − 51.5 = −8.5

标准误

SE = √(7²/50 + 17²/30) = 3.258

误差范围

E = 1.645·3.258 = 5.359

区间

−8.5 ± 5.359 → [−13.86, −3.141]

答案

下限 = −13.86 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

16.置信区间

答案: n = 1156

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·31/1.5)² = 1156

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1156

答案

n = 1156

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.104

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25

检验统计量

t = (52.63 − 50)/1.25 = 2.104

答案

t = 2.104

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 515.9

误差范围

E = 2.576·20/√36 = 8.587

区间端点

U = 507.3 + 8.587 = 515.9

答案

U = 515.9

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9873

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 121/6 = 20.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 183

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 490.8

答案

r = 0.9873

20.线性回归与相关

答案: x = 1.235

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

回归直线

b = −17/10 = −1.7

a = 18 − (−1.7)·3 = 23.1

ŷ = 23.1 − 1.7·x

解出 x

x = (21 − 23.1)/(−1.7) = 1.235

答案

x = 1.235

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