货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 8% 的利率连续复利投资 €10 000。求 5 年后的价值 FV。
PV = €10 000r = 8%t = 5
FV = €
2.货币的时间价值困难
你希望在 13 年后得到 €25 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €25 0003.6% / 12N = 156
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €40 000，在 5 年内每年年末回报 €12 000。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 5%CF0 = −40 000CF1 = 12 000CF2 = 12 000CF3 = 12 000CF4 = 12 000CF5 = 12 000
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €4 000, €3 500, €5 500, €3 500。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 10%CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 3 500CF3 = 5 500CF4 = 3 500
MIRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 12 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €1 177。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 12P = €1 177YTM = 5%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一只债券的交易价格为 €1 100，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 3.1 年。如果收益率上升 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。
P0 = €1 100y = 3%D = 3.1Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求 WACC。
E = €6 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 3%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有4 000 000 股、每股 €53.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。
β = 1.5rf = 3.5%rm = 9.5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：11, 12, 53, 47, 37。
n = 5
s =
10.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。求成绩 380 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 100x = 380
z =
11.概率中等
袋中有 6 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
6 / 9
P =
12.概率困难
一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.1k = 3
P =
13.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 363.6 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 9> 363.6 g
P =
14.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 75%
x = 分
15.置信区间中等
测量 6 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 7.6，标准差为 3。 求平均差值的 95% 置信区间的上限。
n = 6d̄ = 7.6sd = 395%t(5) = 2.571
上限 = mmHg
16.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：9 块地，平均产量 36.5 kg，标准差 1.5 kg。地块组 2：8 块地，均值 38.5 kg，标准差 10 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 9x̄₁ = 36.5s₁ = 1.5n₂ = 8x̄₂ = 38.5s₂ = 1095%t(15) = 2.131
上限 = kg
17.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 103.6，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。
μ₀ = 100x̄ = 103.6s = 12n = 49
t =
18.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 30 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 35 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 35n₂ = 150
z =
19.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 24)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(3.5, 24)
e =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 14918 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.08·5 = 0.4
e0.4 = 1.492
终值
FV = 10 000·1.492 = €14 918.25
答案
FV = €14 918.25
2.货币的时间价值
答案: A = 125.9 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·13 = 156
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 25 000·0.003/(1.596 − 1) = €125.91
答案
A = €125.91
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.742 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 12 000/1.05 = 11 428.57 → Σ = 11 428.57
年份 2: 12 000/1.103 = 10 884.35 → Σ = 22 312.93
年份 3: 12 000/1.158 = 10 366.05 → Σ = 32 678.98
年份 4: 12 000/1.216 = 9 872.43 → Σ = 42 551.41
最后一年的分数
DPB = 3 + 7 321.02/9 872.43 = 3.742
答案
DPB = 3.742 年
折现回收期总是长于简单回收期（3.333 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 17.57 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
4 000·1.13 = 5 324.00
3 500·1.12 = 4 235.00
5 500·1.11 = 6 050.00
3 500·1.10 = 3 500.00
TV = 19 109.00
MIRR
MIRR = (19 109.00/10 000)1/4 − 1 = 17.57%
答案
MIRR = 17.57%
5.债券定价与收益率
答案: c = 6.997 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.05)−12 = €556.84
票息
C = (1177 − 556.84)/8.863 = €69.97
票面利率
c = 69.97/1000 = 6.997%
答案
c = 6.997%
6.债券定价与收益率
答案: P = 1092 €
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
修正久期
Dmod = 3.1/1.03 = 3.01
估计的价格变化
%ΔP ≈ −3.01·(0.0025) = −0.7524%
P ≈ 1100·(1 − 0.007524) = €1 091.72
答案
P = €1 091.72
久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.55 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·9% + 0.5·3%·(1 − 0.3) = 5.55%
答案
WACC = 5.55%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 12.19 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 4 000 000·€53.00 = €212 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 1.5·6% = 12.5%
权重
V = €222 000 000, E/V = 0.955, D/V = 0.04505
WACC
WACC = 0.955·12.5% + 0.04505·7%·(1 − 0.21) = 12.19%
答案
WACC = 12.19%
9.描述统计
答案: s = 19.57
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 160/5 = 32
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−21)² + (−20)² + 21² + 15² + 5² = 1532
标准差
s = √(1532/4) = 19.57
答案
s = 19.57
10.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (380 − 500)/100 = −1.2
答案
z = −1.2
11.概率
答案: P = 0.1429
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0.1429
答案
P = 0.1429
12.概率
答案: P = 0.02296
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 35·0.13·0.94 = 35·0.001·0.6561 = 0.02296
答案
P = 0.02296
13.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 360 g, σT = 1.2·√9 = 3.6 g
标准化
z = (363.6 − 360)/3.6 = 1
概率
P = 1 − Φ(1) = 0.1587
答案
P = 0.1587
14.正态分布
答案: x = 71.75 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 分
答案
x = 71.75 分
15.置信区间
答案: 上限 = 10.75 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 5, t = 2.571
误差范围
E = 2.571·3/√6 = 3.149
区间
7.6 ± 3.149 → [4.451, 10.75]
答案
上限 = 10.75 mmHg
16.置信区间
答案: 上限 = 5.164 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (8·1.5² + 7·10²)/15 = 47.87
sp = 6.919
误差范围
E = 2.131·6.919·√(1/9 + 1/8) = 7.164
区间
−2 ± 7.164 → [−9.164, 5.164]
答案
上限 = 5.164 kg
17.假设检验与置信区间
答案: t = 2.1
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714
检验统计量
t = (103.6 − 100)/1.714 = 2.1
答案
t = 2.1
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: z = 1.177
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 30/100 = 0.3
p̂₂ = 35/150 = 0.2333
p̂ = 65/250 = 0.26
H₀ 下的标准误
SE = √(0.26·0.74·(1/100 + 1/150)) = 0.05663
检验统计量
z = (0.3 − 0.2333)/0.05663 = 1.177
答案
z = 1.177
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
19.线性回归与相关
答案: r² = 0.973
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36
Syy = Σ(y − ȳ)² = 133.2
决定系数
r² = −36²/(10·133.2) = 0.973
答案
r² = 0.973
y 的变异中约有 97.3% 可由该直线解释。
20.线性回归与相关
答案: e = 3.333
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 124/6 = 20.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
回归直线
b = −29/17.5 = −1.657
a = 20.67 − (−1.657)·3.5 = 26.47
ŷ = 26.47 − 1.657·x
预测值
ŷ = 26.47 + (−1.657)·3.5 = 20.67
残差
e = 24 − 20.67 = 3.333
答案
e = 3.333
该点位于直线上方。
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