CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €2 000，共 19 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。

A = €2 000i = 4%n = 19

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 22 年内每月月末存入 €300。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3003.6% / 12N = 264

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€6 000, €10 000, €11 000, €9 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 6 000CF₂ = 10 000CF₃ = 11 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €19 500, €26 000, €22 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 19 500CF₂ = 26 000CF₃ = 22 000

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 7%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 7 年后到期，售价为 €885。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 7P = €885

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.2 的股票要求回报为 9.3%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.2r_e = 9.3%r_f = 1.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €57.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1%r_m = 6.5%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：17, 13, 16, 53, 43, 28, 24。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 56.25 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 5x = 56.25

z =

11.概率中等

从 15 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 15k = 5

N =

12.概率困难

一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.7k = 4

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0250。求 z，保留两位小数。

A = 0.0250

z =

14.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 118.5，标准差 s = 11。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 6x̄ = 118.5s = 1195%t(5) = 2.571

E =

16.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.15 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.05？

p ≈ 0.15E = 0.0595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 25。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 76。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ < 80。求 p 值 p。

μ₀ = 80σ = 25n = 100x̄ = 76H₁: μ < μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 47.4。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 50μ = 47.4σ = 10n = 100α = 0.05

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 64)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(4.5, 64)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 26268 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4746)/0.04 = 13.13

现值

PV = 2 000·13.13 = €26 267.88

答案

PV = €26 267.88

2.货币的时间价值

答案: FV = 120519 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·22 = 264

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2.205 − 1)/0.003 = €120 519.15

答案

FV = €120 519.15

你自己存入了 €79 200；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −523.6 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 6 000/1.08 = 5 555.56

CF₂/(1 + 0.08)² = 10 000/1.166 = 8 573.39

CF₃/(1 + 0.08)³ = 11 000/1.26 = 8 732.15

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 9 000/1.36 = 6 615.27

相加

NPV = €−523.63

答案

NPV = €−523.63

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 14.77 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

19 500·1.12² = 24 460.80

26 000·1.12¹ = 29 120.00

22 000·1.12⁰ = 22 000.00

TV = 75 580.80

MIRR

MIRR = (75 580.80/50 000)^1/3 − 1 = 14.77%

答案

MIRR = 14.77%

5.债券定价与收益率

答案: P = 806.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.035, N = 12

票息的现值

€15.00·(1 − 0.6618)/0.035 = €144.95

面值的现值

€1 000·0.6618 = €661.78

价格

P = €806.73

答案

P = €806.73

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.986 %

收益率方程

€885 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(4%) = €939.98, P(5%) = €884.27

YTM = 4.986%

答案

YTM = 4.986%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (9.3% − 1.5%)/1.2 = 6.5%

市场回报

r_m = 1.5% + 6.5% = 8%

答案

r_m = 8%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.748 %

市场价值

E = 1 000 000·€57.00 = €57 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.2·5.5% = 7.6%

权重

V = €95 400 000, E/V = 0.5975, D/V = 0.4025

WACC

WACC = 0.5975·7.6% + 0.4025·4%·(1 − 0.25) = 5.748%

答案

WACC = 5.748%

9.描述统计

答案: s = 15.03

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 194/7 = 27.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−10.71)² + (−14.71)² + (−11.71)² + 25.29² + 15.29² + 0.2857² + (−3.714)² = 1355

标准差

s = √(1355/6) = 15.03

答案

s = 15.03

10.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (56.25 − 50)/5 = 1.25

答案

z = 1.25

11.概率

答案: N = 3003

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

答案

N = 3003

12.概率

答案: P = 0.03676

二项分布公式

P(X = 4) = 210·0.7⁴·0.3⁶ = 210·0.2401·0.000729 = 0.03676

答案

P = 0.03676

13.正态分布

答案: z = 1.96

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0250 = 0.9750

反向查 z 表

在表中找到 0.9750，读出 z。

z = 1.96

答案

z = 1.96

14.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

15.置信区间

答案: E = 11.55

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 2.571

误差范围

E = 2.571·11/√6 = 11.55

答案

E = 11.55

16.置信区间

答案: n = 196

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.15·0.85/0.05² = 195.9

向上取整

n = 196

答案

n = 196

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.0548

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 25/√100 = 2.5

z = (76 − 80)/2.5 = −1.6

尾部面积

Φ(1.6) = 0.9452

1 − Φ(1.6) = 0.0548

p 值

p = 0.0548

答案

p = 0.0548

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 83.02 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 50 − 1.645·1 = 48.35

真实均值下的 z

z = (48.35 − 47.4)/1 = 0.955

功率

功效 = P(Z < 0.955) = 83.02%

1 − β = 83.02%

答案

1 − β = 83.02%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9179

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 322/5 = 64.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 413.2

答案

r = 0.9179

20.线性回归与相关

答案: e = 1.667

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 374/6 = 62.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111

回归直线

b = 111/17.5 = 6.343

a = 62.33 − 6.343·4.5 = 33.79

ŷ = 33.79 + 6.343·x

预测值

ŷ = 33.79 + 6.343·4.5 = 62.33

残差

e = 64 − 62.33 = 1.667

答案

e = 1.667

该点位于直线上方。

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