CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €12 000，按季度复利。求 6 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0006% / 4n = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €1 000，共 15 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 15 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €1 000i = 5%n = 15

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€6 000, €5 000, €6 000, €5 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000CF₃ = 6 000CF₄ = 5 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €6 500, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 6 500CF₃ = 5 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 15 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €689。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 15P = €689YTM = 5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 079。发行人可在 3 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 079赎回价格 = €1 070赎回时间 3 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.5 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 1。税率为 20%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 4.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.5D/E₂ = 1T = 20%r_f = 1.5%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：12, 24, 40, 19, 14, 28。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。求成绩 70 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 10x = 70

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.05, 0.35, 0.3, 0.3

σ =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.2 赢得 €4，以概率 0.02 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€4: p = 0.2€20: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 37 min 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 37 min

P =

14.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 20.5，标准差 s = 8.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 7x̄ = 20.5s = 8.590%t(6) = 1.943

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 36E = 2.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 117.7，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 117.7s = 10n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 18。实际上均值为 503.3。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 503.3σ = 18n = 36α = 0.10

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 26？

n = 5ŷ = 26

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 17154 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/4 = 0.015

N = m·n = 4·6 = 24

终值

FV = 12 000·(1 + 0.015)²⁴ = 12 000·1.43 = €17 154.03

答案

FV = €17 154.03

2.货币的时间价值

答案: FV = 22657 €

普通年金系数

((1 + 0.05)¹⁵ − 1)/0.05 = 21.58

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 1 000·21.58·1.05 = €22 657.49

答案

FV = €22 657.49

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1313 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 6 000/1.07 = 5 607.48

CF₂/(1 + 0.07)² = 5 000/1.145 = 4 367.19

CF₃/(1 + 0.07)³ = 6 000/1.225 = 4 897.79

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 5 000/1.311 = 3 814.48

相加

NPV = €−1 313.07

答案

NPV = €−1 313.07

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 26.12 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 176.00

NPV(30%) = −573.51

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·176.00/(176.00 − (−573.51)) = 26.17%

精确: NPV(26.12%) = 0 → IRR = 26.12%

答案

IRR = 26.12%

5.债券定价与收益率

答案: c = 2.004 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.05)⁻¹⁵ = €481.02

票息

C = (689 − 481.02)/10.38 = €20.04

票面利率

c = 20.04/1000 = 2.004%

答案

c = 2.004%

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 6.226 %

收益率方程

1079 = 70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1070/(1 + y)³

数值求解

y = 6%: €1 085.50

y = 7%: €1 057.14

YTC = 6.226%

答案

YTC = 6.226%

到期收益率为 5.998%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·13% + 0.5·5%·(1 − 0.2) = 8.5%

答案

WACC = 8.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.6 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.8·0.5) = 1

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1·(1 + 0.8·1) = 1.8

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.8·4.5% = 9.6%

答案

r_e = 9.6%

9.描述统计

答案: s = 10.32

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 137/6 = 22.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−10.83)² + 1.167² + 17.17² + (−3.833)² + (−8.833)² + 5.167² = 532.8

标准差

s = √(532.8/5) = 10.32

答案

s = 10.32

10.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (70 − 60)/10 = 1

答案

z = 1

11.概率

答案: σ = 1.819

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.05 + 2·0.35 + 4·0.3 + 6·0.3 = 3.7

平方的均值

E(X²) = 0·0.05 + 4·0.35 + 16·0.3 + 36·0.3 = 17

方差

Var(X) = 17 − 3.7² = 3.31

σ = √3.31 = 1.819

答案

σ = 1.819

12.概率

答案: E(G) = 0.2 €

净结果

G: 3 (p = 0.2), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.78)

期望值

E(G) = 3·0.2 + 19·0.02 − 1·0.78 = 0.2 €

答案

E(G) = 0.2 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.02275

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

标准化

z = (37 − 32)/2.5 = 2

上尾

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275

14.正态分布

答案: P = 0.7389

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

15.置信区间

答案: 上限 = 26.74

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 1.943

误差范围

E = 1.943·8.5/√7 = 6.242

区间

20.5 ± 6.242 → [14.26, 26.74]

答案

上限 = 26.74

16.置信区间

答案: n = 797

解出 n

n = (1.96·36/2.5)² = 796.6

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 797

答案

n = 797

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.38

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

检验统计量

t = (117.7 − 120)/1.667 = −1.38

答案

t = −1.38

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 42.78 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 500 + 1.282·3 = 503.8

真实均值下的 z

z = (503.8 − 503.3)/3 = 0.182

功率

功效 = P(Z > 0.182) = 42.78%

1 − β = 42.78%

答案

1 − β = 42.78%

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9369

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 286/5 = 57.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 346.8

决定系数

r² = 114²/(40·346.8) = 0.9369

答案

r² = 0.9369

y 的变异中约有 93.69% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 7.127

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 110/5 = 22

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

回归直线

b = 142/40 = 3.55

a = 22 − 3.55·6 = 0.7

ŷ = 0.7 + 3.55·x

解出 x

x = (26 − 0.7)/3.55 = 7.127

答案

x = 7.127

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