CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €1 000，按季度复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0004% / 4n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 26 年内每月月末存入 €250。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2502.4% / 12N = 312

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€13 000, €25 000, €21 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 000CF₂ = 25 000CF₃ = 21 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 5 年内每年年末回报 €19 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €19 000n = 5

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 9.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 4y₀ = 8%y₁ = 9.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，分两次半年支付，6 年后到期。其售价为 €1 106。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6% (2×)n = 6P = €1 106

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €4 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 10.82%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求股权资本成本 r_e。

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 10.82%r_d = 3%T = 30%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €8 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 6 年），每张交易价格为 €1 075。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €8 000 000r_e = 11%债券: 2 000 × €1 075票面利率 = 7%n = 6T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：28, 42, 58, 32, 42, 26, 46。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。求成绩 118 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 12x = 118

z =

11.概率中等

从 6 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 6k = 4

N =

12.概率困难

一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.1k = 1

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.4581。求 z，保留两位小数。

A = 0.4581

z =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 98.5，标准差 s = 2。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 8x̄ = 98.5s = 290%t(7) = 1.895

E =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：8 块地，平均产量 65.5 kg，标准差 8.5 kg。地块组 2：18 块地，均值 68.5 kg，标准差 4 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 8x̄₁ = 65.5s₁ = 8.5n₂ = 18x̄₂ = 68.5s₂ = 499%t(24) = 2.797

E = kg

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 194.9，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 194.9s = 20n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 21。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 95%δ = 4σ = 21z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 25Σy = 365Σx² = 165Σy² = 27175Σxy = 1967

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 22？

n = 6ŷ = 22

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1431 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/4 = 0.01

N = m·n = 4·9 = 36

终值

FV = 1 000·(1 + 0.01)³⁶ = 1 000·1.431 = €1 430.77

答案

FV = €1 430.77

2.货币的时间价值

答案: FV = 108152 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·26 = 312

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.865 − 1)/0.002 = €108 151.99

答案

FV = €108 151.99

你自己存入了 €78 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −11743 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 13 000/1.1 = 11 818.18

CF₂/(1 + 0.1)² = 25 000/1.21 = 20 661.16

CF₃/(1 + 0.1)³ = 21 000/1.331 = 15 777.61

相加

NPV = €−11 743.05

答案

NPV = €−11 743.05

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.016 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 80 000/19 000 = 4.211

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 6%: 4.212

i = 7%: 4.1

IRR = 6.016%

答案

IRR = 6.016%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 4.013 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €45.00, i = 0.08, N = 4

€45.00·(1 − 0.735)/0.08 + €1 000·0.735 = €149.05 + €735.03 = €884.08

卖出价

C = €45.00, i = 0.095, N = 3

€45.00·(1 − 0.7617)/0.095 + €1 000·0.7617 = €112.90 + €761.65 = €874.55

持有期收益率

HPR = (45 + 874.55 − 884.08)/884.08 = 4.013%

答案

HPR = 4.013%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.996 %

每期

C = €30.00, N = 12

数值求解

i = 1.998% 每半年

YTM

YTM = 2·1.998% = 3.996%

答案

YTM = 3.996%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 13 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC 中的债务部分

0.2·3%·(1 − 0.3) = 0.42%

股权成本

r_e = (10.82% − 0.42%)/0.8 = 13%

答案

r_e = 13%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.544 %

债务成本 (YTM)

1075 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1000/(1 + y)⁶

y = 5.499%

市场价值

D = 2 000·€1 075 = €2 150 000

V = €10 150 000, E/V = 0.7882, D/V = 0.2118

WACC

WACC = 0.7882·11% + 0.2118·5.499%·(1 − 0.25) = 9.544%

答案

WACC = 9.544%

9.描述统计

答案: s = 11.31

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 274/7 = 39.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−11.14)² + 2.857² + 18.86² + (−7.143)² + 2.857² + (−13.14)² + 6.857² = 766.9

标准差

s = √(766.9/6) = 11.31

答案

s = 11.31

10.描述统计

答案: z = 1.5

标准化

z = (118 − 100)/12 = 1.5

答案

z = 1.5

11.概率

答案: N = 15

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

答案

N = 15

12.概率

答案: P = 0.3766

二项分布公式

P(X = 1) = 12·0.1¹·0.9¹¹ = 12·0.1·0.3138 = 0.3766

答案

P = 0.3766

13.正态分布

答案: z = 0.61

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.4581)/2 = 0.7291

反向查 z 表

在表中找到 0.7291，读出 z。

z = 0.61

答案

z = 0.61

14.正态分布

答案: P = 0.9875

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24

概率

P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875

答案

P = 0.9875

15.置信区间

答案: E = 1.34

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 1.895

误差范围

E = 1.895·2/√8 = 1.34

答案

E = 1.34

16.置信区间

答案: E = 6.766 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (7·8.5² + 17·4²)/24 = 32.41

s_p = 5.693

误差范围

E = 2.797·5.693·√(1/8 + 1/18) = 6.766

答案

E = 6.766 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.785

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857

检验统计量

t = (194.9 − 200)/2.857 = −1.785

答案

t = −1.785

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 435

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.645)·21/4)² = 434.6

向上取整

n = 435

答案

n = 435

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9753

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1967 − 25·365/5 = 142

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 27175 − 365²/5 = 530

答案

r = 0.9753

20.线性回归与相关

答案: x = 1.487

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 93/6 = 15.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56.5

回归直线

b = −56.5/17.5 = −3.229

a = 15.5 − (−3.229)·3.5 = 26.8

ŷ = 26.8 − 3.229·x

解出 x

x = (22 − 26.8)/(−3.229) = 1.487

答案

x = 1.487

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