CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €8 000，按季度复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0002% / 4n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 10 年内每月月末存入 €300。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3003% / 12N = 120

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€14 000, €11 000, €6 000, €6 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 11 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €19 500, €33 000, €30 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 19 500CF₂ = 33 000CF₃ = 30 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 5 年后到期，每年付息。到期收益率为 5.5% 时其售价为 €1 107。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 5P = €1 107YTM = 5.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 10 年后到期，售价为 €900。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 10P = €900

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 4.9%。无风险利率为 2.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.6r_e = 4.9%r_f = 2.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €37.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 2%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 2%r_m = 8.5%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：59, 10, 23, 17, 46。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。求成绩 155 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 15x = 155

z =

11.概率中等

从 10 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 10k = 4

N =

12.概率困难

测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.3

P =

13.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 200.5 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.5 mm

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.置信区间中等

测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −3.1，标准差为 1.6。求平均差值的 90% 置信区间的下限。

n = 20d̄ = −3.1s_d = 1.690%t(19) = 1.729

下限 = mmHg

16.置信区间困难

总体标准差为 32。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 32E = 2.590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 76.5 mm，该生产线的已知标准差为 5 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 82 mm，已知标准差为 17 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 76.5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 100x̄₂ = 82 mmσ₂ = 17 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 113 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 128 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 113n₁ = 250x₂ = 128n₂ = 250

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 20Σy = 245Σx² = 90Σy² = 12251Σxy = 1020

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3.5 时的 ŷ。

n = 6x = 3.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 9384 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/4 = 0.005

N = m·n = 4·8 = 32

终值

FV = 8 000·(1 + 0.005)³² = 8 000·1.173 = €9 384.34

答案

FV = €9 384.34

2.货币的时间价值

答案: FV = 41922 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·10 = 120

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.349 − 1)/0.0025 = €41 922.43

答案

FV = €41 922.43

你自己存入了 €36 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2167 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 14 000/1.07 = 13 084.11

CF₂/(1 + 0.07)² = 11 000/1.145 = 9 607.83

CF₃/(1 + 0.07)³ = 6 000/1.225 = 4 897.79

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 6 000/1.311 = 4 577.37

相加

NPV = €2 167.10

答案

NPV = €2 167.10

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 27.59 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 2 080.00

NPV(30%) = −1 818.39

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·2 080.00/(2 080.00 − (−1 818.39)) = 27.67%

精确: NPV(27.59%) = 0 → IRR = 27.59%

答案

IRR = 27.59%

5.债券定价与收益率

答案: c = 8.006 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.055)⁻⁵ = €765.13

票息

C = (1107 − 765.13)/4.27 = €80.06

票面利率

c = 80.06/1000 = 8.006%

答案

c = 8.006%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.526 %

收益率方程

€900 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(8%) = €932.90, P(9%) = €871.65

YTM = 8.526%

答案

YTM = 8.526%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 6.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (4.9% − 2.5%)/0.6 = 4%

市场回报

r_m = 2.5% + 4% = 6.5%

答案

r_m = 6.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.023 %

市场价值

E = 2 500 000·€37.00 = €92 500 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 0.9·6.5% = 7.85%

权重

V = €112 500 000, E/V = 0.8222, D/V = 0.1778

WACC

WACC = 0.8222·7.85% + 0.1778·4%·(1 − 0.2) = 7.023%

答案

WACC = 7.023%

9.描述统计

答案: s = 20.68

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 155/5 = 31

离差平方

Σ(x − x̄)² = 28² + (−21)² + (−8)² + (−14)² + 15² = 1710

标准差

s = √(1710/4) = 20.68

答案

s = 20.68

10.描述统计

答案: z = −1

标准化

z = (155 − 170)/15 = −1

答案

z = −1

11.概率

答案: N = 210

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

答案

N = 210

12.概率

答案: P = 0.4202

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7⁶ = 0.1176

P(X = 1) = 6·0.3·0.7⁵ = 0.3025

相加

P = 0.1176 + 0.3025 = 0.4202

答案

P = 0.4202

13.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (200.5 − 200)/0.5 = 1

上尾

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

14.正态分布

答案: P = 0.9633

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

概率

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

答案

P = 0.9633

15.置信区间

答案: 下限 = −3.719 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 19, t = 1.729

误差范围

E = 1.729·1.6/√20 = 0.6186

区间

−3.1 ± 0.6186 → [−3.719, −2.481]

答案

下限 = −3.719 mmHg

16.置信区间

答案: n = 444

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·32/2.5)² = 443.4

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 444

答案

n = 444

17.假设检验与置信区间

答案: z = −2.987

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(5²/50 + 17²/100) = √3.39 = 1.841

检验统计量

z = (76.5 − 82)/1.841 = −2.987

答案

z = −2.987

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: z = −1.343

样本比例

p̂₁ = 113/250 = 0.452

p̂₂ = 128/250 = 0.512

p̂ = 241/500 = 0.482

H₀ 下的标准误

SE = √(0.482·0.518·(1/250 + 1/250)) = 0.04469

检验统计量

z = (0.452 − 0.512)/0.04469 = −1.343

答案

z = −1.343

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r = 0.8065

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1020 − 20·245/5 = 40

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 12251 − 245²/5 = 246

答案

r = 0.8065

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 49.67

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 322/6 = 53.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70

回归直线

b = 70/17.5 = 4

a = 53.67 − 4·4.5 = 35.67

ŷ = 35.67 + 4·x

预测

ŷ = 35.67 + 4·3.5 = 49.67

答案

ŷ = 49.67

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