CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €20 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 4%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €20 000g = 2%r = 4%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 5 年内每月月末存入 €50。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €504.2% / 12N = 60

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€22 000, €11 000, €11 000, €14 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 22 000CF₂ = 11 000CF₃ = 11 000CF₄ = 14 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €14 500, €8 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 500CF₂ = 8 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 3%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 4y₀ = 4%y₁ = 4.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 075。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 6P = €1 075

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.4 的股票要求回报为 7.1%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.4r_e = 7.1%r_f = 1.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 5 000 000 股股票，股价为 €38.00；其股权账面价值为 €57 000 000。公司刚支付了每股 €2.20 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €190 000 000，税前成本为 4%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 5 000 000P₀ = €38.00股权账面价值 = €57 000 000D₀ = €2.20g = 3%D = €190 000 000r_d = 4%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：16, 46, 30, 20, 46。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。求成绩 78 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 20x = 78

z =

11.概率中等

袋中有 6 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 4

P =

12.概率困难

测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.6

P =

13.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量低于 978.4 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 978.4 kg

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 16 个个体的样本，均值为 74，标准差 s = 6。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 16x̄ = 74s = 699%t(15) = 2.947

下限 =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：8 块地，平均产量 75.5 kg，标准差 3 kg。地块组 2：8 块地，均值 78 kg，标准差 8 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 8x̄₁ = 75.5s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 78s₂ = 895%t(14) = 2.145

下限 = kg

17.假设检验与置信区间中等

15 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 4.73，差值的标准差为 4.7。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 15d̄ = 4.73s_d = 4.7

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 14。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 90%δ = 4σ = 14z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 2 时的 ŷ。

n = 5x = 2

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 1 × 10⁶ €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.04 − 0.02) = 20 000/0.02 = €1 000 000.00

答案

PV = €1 000 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 3332 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.233 − 1)/0.0035 = €3 331.80

答案

FV = €3 331.80

你自己存入了 €3 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4828 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 22 000/1.07 = 20 560.75

CF₂/(1 + 0.07)² = 11 000/1.145 = 9 607.83

CF₃/(1 + 0.07)³ = 11 000/1.225 = 8 979.28

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 14 000/1.311 = 10 680.53

相加

NPV = €4 828.38

答案

NPV = €4 828.38

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 10.84 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 206.61

NPV(15%) = −964.08

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·206.61/(206.61 − (−964.08)) = 10.88%

精确: NPV(10.84%) = 0 → IRR = 10.84%

答案

IRR = 10.84%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 2.601 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €30.00, i = 0.04, N = 4

€30.00·(1 − 0.8548)/0.04 + €1 000·0.8548 = €108.90 + €854.80 = €963.70

卖出价

C = €30.00, i = 0.045, N = 3

€30.00·(1 − 0.8763)/0.045 + €1 000·0.8763 = €82.47 + €876.30 = €958.77

持有期收益率

HPR = (30 + 958.77 − 963.70)/963.70 = 2.601%

答案

HPR = 2.601%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.453 %

收益率方程

€1 075 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(6%) = €1 098.35, P(7%) = €1 047.67

YTM = 6.453%

答案

YTM = 6.453%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 5.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (7.1% − 1.5%)/1.4 = 4%

市场回报

r_m = 1.5% + 4% = 5.5%

答案

r_m = 5.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.982 %

股权成本

D₁ = 2.2·1.03 = €2.27

r_e = 2.266/38 + 0.03 = 8.963%

市场价值

E = 5 000 000·€38.00 = €190 000 000

V = €380 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·8.963% + 0.5·4%·(1 − 0.25) = 5.982%

答案

WACC = 5.982%

9.描述统计

答案: s = 14.1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 158/5 = 31.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−15.6)² + 14.4² + (−1.6)² + (−11.6)² + 14.4² = 795.2

标准差

s = √(795.2/4) = 14.1

答案

s = 14.1

10.描述统计

答案: z = 0.4

标准化

z = (78 − 70)/20 = 0.4

答案

z = 0.4

11.概率

答案: P = 0.3333

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0.3333

答案

P = 0.3333

12.概率

答案: P = 0.08704

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.4⁵ = 0.01024

P(X = 1) = 5·0.6·0.4⁴ = 0.0768

相加

P = 0.01024 + 0.0768 = 0.08704

答案

P = 0.08704

13.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41.57 kg

标准化

z = (978.4 − 1020)/41.57 = −1

概率

P = Φ(−1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

14.正态分布

答案: P = 0.8554

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02828 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02828 = −1.06

概率

P = 1 − Φ(−1.06) = 0.8554

答案

P = 0.8554

15.置信区间

答案: 下限 = 69.58

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 2.947

误差范围

E = 2.947·6/√16 = 4.421

区间

74 ± 4.421 → [69.58, 78.42]

答案

下限 = 69.58

16.置信区间

答案: 下限 = −8.98 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (7·3² + 7·8²)/14 = 36.5

s_p = 6.042

误差范围

E = 2.145·6.042·√(1/8 + 1/8) = 6.48

区间

−2.5 ± 6.48 → [−8.98, 3.98]

答案

下限 = −8.98 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = 3.898

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 4.7/√15 = 1.214

检验统计量

t = 4.73/1.214 = 3.898

答案

t = 3.898

df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 160

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.282)·14/4)² = 159.5

向上取整

n = 160

答案

n = 160

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9885

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 536/5 = 107.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 411

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1921

答案

r = 0.9885

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 57.25

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 383/5 = 76.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

回归直线

b = 258/40 = 6.45

a = 76.6 − 6.45·5 = 44.35

ŷ = 44.35 + 6.45·x

预测

ŷ = 44.35 + 6.45·2 = 57.25

答案

ŷ = 57.25

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