CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 3% 的利率连续复利投资 €5 000。求 18 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 3%t = 18

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0003% / 12N = 36

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€19 000, €29 000, €29 000, €24 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 29 000CF₃ = 29 000CF₄ = 24 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €14 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €14 500n = 7

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 4%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €920，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 6.8 年。如果收益率上升 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €920y = 6%D = 6.8Δy = +100 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 2 的股票要求回报为 12.5%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 2r_e = 12.5%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €9.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2%r_m = 8%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：29, 21, 43, 18, 18, 11, 25。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 550 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 550

z =

11.概率中等

从 12 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 12k = 3

N =

12.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.3

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1314。求 z，保留两位小数。

A = 0.1314

z =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 120.5 h，已知标准差 12 h。型号 2：80 部手机，均值 107.5 h，已知标准差 17 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 100x̄₁ = 120.5 hσ₁ = 12 hn₂ = 80x̄₂ = 107.5 hσ₂ = 17 h99%

下限 = h

16.置信区间困难

15 根机加工轴的直径样本标准差为 3.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。

n = 15s = 3.4 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 198.9，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 198.9s = 5n = 100

t =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 38 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 7 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 38n₁ = 250x₂ = 7n₂ = 120

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 86？

n = 6ŷ = 86

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 8580 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.03·18 = 0.54

e^0.54 = 1.716

终值

FV = 5 000·1.716 = €8 580.03

答案

FV = €8 580.03

2.货币的时间价值

答案: A = 581.6 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.914

A = 20 000·0.0025/(1 − 0.914) = €581.62

答案

A = €581.62

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 21235 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 19 000/1.09 = 17 431.19

CF₂/(1 + 0.09)² = 29 000/1.188 = 24 408.72

CF₃/(1 + 0.09)³ = 29 000/1.295 = 22 393.32

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 24 000/1.412 = 17 002.21

相加

NPV = €21 235.44

答案

NPV = €21 235.44

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.331 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 80 000/14 500 = 5.517

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 6%: 5.582

i = 7%: 5.389

IRR = 6.331%

答案

IRR = 6.331%

5.债券定价与收益率

答案: P = 925 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.02, N = 18

票息的现值

€15.00·(1 − 0.7002)/0.02 = €224.88

面值的现值

€1 000·0.7002 = €700.16

价格

P = €925.04

答案

P = €925.04

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 861 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 6.8/1.06 = 6.415

估计的价格变化

%ΔP ≈ −6.415·(0.01) = −6.415%

P ≈ 920·(1 − 0.06415) = €860.98

答案

P = €860.98

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (12.5% − 3.5%)/2 = 4.5%

市场回报

r_m = 3.5% + 4.5% = 8%

答案

r_m = 8%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.313 %

市场价值

E = 4 000 000·€9.00 = €36 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.8·6% = 12.8%

权重

V = €56 400 000, E/V = 0.6383, D/V = 0.3617

WACC

WACC = 0.6383·12.8% + 0.3617·4%·(1 − 0.21) = 9.313%

答案

WACC = 9.313%

9.描述统计

答案: s = 10.29

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 165/7 = 23.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = 5.429² + (−2.571)² + 19.43² + (−5.571)² + (−5.571)² + (−12.57)² + 1.429² = 635.7

标准差

s = √(635.7/6) = 10.29

答案

s = 10.29

10.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (550 − 500)/40 = 1.25

答案

z = 1.25

11.概率

答案: N = 220

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

答案

N = 220

12.概率

答案: P = 0.08503

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7¹² = 0.01384

P(X = 1) = 12·0.3·0.7¹¹ = 0.07118

相加

P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503

答案

P = 0.08503

13.正态分布

答案: z = 1.12

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.1314 = 0.8686

反向查 z 表

在表中找到 0.8686，读出 z。

z = 1.12

答案

z = 1.12

14.正态分布

答案: x = 166.5 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 178 − 1.64·7 = 166.5 cm

答案

x = 166.5 cm

15.置信区间

答案: 下限 = 7.21 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 120.5 − 107.5 = 13

标准误

SE = √(12²/100 + 17²/80) = 2.248

误差范围

E = 2.576·2.248 = 5.79

区间

13 ± 5.79 → [7.21, 18.79]

答案

下限 = 7.21 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

16.置信区间

答案: σ = 2.489 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 14·3.4² = 161.8

σ² 的限值

161.8/26.119 = 6.196

161.8/5.629 = 28.75

σ 的限值

σ = √6.196 = 2.489 µm

答案

σ = 2.489 µm

σ 的 95% 区间：[2.489, 5.362] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

检验统计量

t = (198.9 − 200)/0.5 = −2.2

答案

t = −2.2

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: z = 2.58

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 38/250 = 0.152

p̂₂ = 7/120 = 0.05833

p̂ = 45/370 = 0.1216

H₀ 下的标准误

SE = √(0.1216·0.8784·(1/250 + 1/120)) = 0.0363

检验统计量

z = (0.152 − 0.05833)/0.0363 = 2.58

答案

z = 2.58

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9853

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 181/6 = 30.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 281

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1145

决定系数

r² = 281²/(70·1145) = 0.9853

答案

r² = 0.9853

y 的变异中约有 98.53% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 12.11

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 417/6 = 69.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 281

回归直线

b = 281/70 = 4.014

a = 69.5 − 4.014·8 = 37.39

ŷ = 37.39 + 4.014·x

解出 x

x = (86 − 37.39)/4.014 = 12.11

答案

x = 12.11

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