CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €1 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0006% / 4n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 30 年内每月月末存入 €200。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2004.2% / 12N = 360

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €50 000，在 5 年内每年年末回报 €15 500。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 500CF₂ = 15 500CF₃ = 15 500CF₄ = 15 500CF₅ = 15 500

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €21 500, €22 000, €35 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 500CF₂ = 22 000CF₃ = 35 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 5%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 8 年后到期，售价为 €1 095。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 8P = €1 095

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €40.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 2.5%r_m = 8.5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：16, 27, 45, 40, 23, 42。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值高于 180 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 8x = 180

P =

11.概率中等

袋中有 8 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 5

P =

12.概率困难

测试 11 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.1

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.7389。求 z，保留两位小数。

A = 0.7389

z =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g5%

x = g

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 134 h，已知标准差 20 h。型号 2：40 部手机，均值 125.5 h，已知标准差 9 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 60x̄₁ = 134 hσ₁ = 20 hn₂ = 40x̄₂ = 125.5 hσ₂ = 9 h90%

上限 = h

16.置信区间困难

总体标准差为 28。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 28E = 1.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 136 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 133.9 mm，已知标准差为 14 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 136 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 100x̄₂ = 133.9 mmσ₂ = 14 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 20。求最小样本量 n。

σ = 20E = 295%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 109？

n = 5ŷ = 109

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1196 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/4 = 0.015

N = m·n = 4·3 = 12

终值

FV = 1 000·(1 + 0.015)¹² = 1 000·1.196 = €1 195.62

答案

FV = €1 195.62

2.货币的时间价值

答案: FV = 143867 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·30 = 360

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(3.518 − 1)/0.0035 = €143 867.12

答案

FV = €143 867.12

你自己存入了 €72 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.883 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 15 500/1.08 = 14 351.85 → Σ = 14 351.85

年份 2: 15 500/1.166 = 13 288.75 → Σ = 27 640.60

年份 3: 15 500/1.26 = 12 304.40 → Σ = 39 945.00

年份 4: 15 500/1.36 = 11 392.96 → Σ = 51 337.97

最后一年的分数

DPB = 3 + 10 055.00/11 392.96 = 3.883

答案

DPB = 3.883 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.226 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 24 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 3 449.07

NPV(25%) = −800.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·3 449.07/(3 449.07 − (−800.00)) = 24.06%

精确: NPV(24%) = 0 → IRR = 24%

答案

IRR = 24%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1058 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.025, N = 14

票息的现值

€30.00·(1 − 0.7077)/0.025 = €350.73

面值的现值

€1 000·0.7077 = €707.73

价格

P = €1 058.45

答案

P = €1 058.45

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.5 %

收益率方程

€1 095 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(5%) = €1 129.26, P(6%) = €1 062.10

YTM = 5.5%

答案

YTM = 5.5%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.305 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455

WACC

WACC = 0.4545·9% + 0.5455·3%·(1 − 0.258) = 5.305%

答案

WACC = 5.305%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.042 %

市场价值

E = 2 500 000·€40.00 = €100 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.6·6% = 6.1%

权重

V = €105 100 000, E/V = 0.9515, D/V = 0.04853

WACC

WACC = 0.9515·6.1% + 0.04853·7%·(1 − 0.3) = 6.042%

答案

WACC = 6.042%

9.描述统计

答案: s = 11.79

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 193/6 = 32.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16.17)² + (−5.167)² + 12.83² + 7.833² + (−9.167)² + 9.833² = 694.8

标准差

s = √(694.8/5) = 11.79

答案

s = 11.79

10.描述统计

答案: P = 0.1056

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

11.概率

答案: P = 0.359

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0.359

答案

P = 0.359

12.概率

答案: P = 0.6974

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.9¹¹ = 0.3138

P(X = 1) = 11·0.1·0.9¹⁰ = 0.3835

相加

P = 0.3138 + 0.3835 = 0.6974

答案

P = 0.6974

13.正态分布

答案: z = −0.64

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.7389 = 0.2611

反向查 z 表

在表中找到 0.2611，读出 z。

z = −0.64

答案

z = −0.64

14.正态分布

答案: x = 241.8 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 250 − 1.64·5 = 241.8 g

答案

x = 241.8 g

15.置信区间

答案: 上限 = 13.35 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 134 − 125.5 = 8.5

标准误

SE = √(20²/60 + 9²/40) = 2.948

误差范围

E = 1.645·2.948 = 4.85

区间

8.5 ± 4.85 → [3.65, 13.35]

答案

上限 = 13.35 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

16.置信区间

答案: n = 1339

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·28/1.5)² = 1339

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1339

答案

n = 1339

17.假设检验与置信区间

答案: z = 0.5879

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(18²/30 + 14²/100) = √12.76 = 3.572

检验统计量

z = (136 − 133.9)/3.572 = 0.5879

答案

z = 0.5879

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 385

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.96·20/2)² = 384.2

向上取整

n = 385

答案

n = 385

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9468

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 270/5 = 54

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 806

答案

r = 0.9468

20.线性回归与相关

答案: x = 22.05

均值

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 458/5 = 91.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

回归直线

b = 228/40 = 5.7

a = 91.6 − 5.7·19 = −16.7

ŷ = −16.7 + 5.7·x

解出 x

x = (109 − (−16.7))/5.7 = 22.05

答案

x = 22.05

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