CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 17.5%，按季度复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 17.5%m = 4

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0003% / 12N = 72

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000，使用 9 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €40 000M = €3 000n = 9r = 8%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €10 500, €13 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 13 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 4%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，分两次半年支付，6 年后到期。其售价为 €1 048。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8% (2×)n = 6P = €1 048

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 4%，税率为 30%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.1。它计划采用 0.5 的负债权益比。税率为 20%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 4.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1.1D/E = 0.5T = 20%r_f = 2.5%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：58, 24, 11, 13, 21。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 160 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 5x = 160

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.2, 0.15, 0.35

σ =

12.概率困难

一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.7k = 3

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.4039。求 z，保留两位小数。

A = 0.4039

z =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 12 个个体的样本，均值为 54.5，标准差 s = 14。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 12x̄ = 54.5s = 1495%t(11) = 2.201

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 17E = 190%

n =

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 123，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 123s = 5n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 101.5。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 101.5σ = 4n = 6490%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3 时的 ŷ。

n = 6x = 3

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 18.68 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.175/4 = 0.04375

复利一年

EAR = (1 + 0.04375)⁴ − 1 = 1.187 − 1 = 18.68%

答案

EAR = 18.68%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 303.9 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·6 = 72

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 20 000·0.0025/(1 − 0.8355) = €303.87

答案

A = €303.87

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 9403 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁹)/0.08 = 6.247

年化购置价格

40 000/6.247 = 6 403.19

EAC

EAC = 6 403.19 + 3 000 = €9 403.19

答案

EAC = €9 403.19

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 11.04 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 289.26

NPV(15%) = −1 039.70

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·289.26/(289.26 − (−1 039.70)) = 11.09%

精确: NPV(11.04%) = 0 → IRR = 11.04%

答案

IRR = 11.04%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1034 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.02, N = 16

票息的现值

€22.50·(1 − 0.7284)/0.02 = €305.50

面值的现值

€1 000·0.7284 = €728.45

价格

P = €1 033.94

答案

P = €1 033.94

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.006 %

每期

C = €40.00, N = 12

数值求解

i = 3.503% 每半年

YTM

YTM = 2·3.503% = 7.006%

答案

YTM = 7.006%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.618 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455

WACC

WACC = 0.4545·9% + 0.5455·4%·(1 − 0.3) = 5.618%

答案

WACC = 5.618%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.43 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1.1·(1 + 0.8·0.5) = 1.54

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.54·4.5% = 9.43%

答案

r_e = 9.43%

9.描述统计

答案: s = 19.01

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 127/5 = 25.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 32.6² + (−1.4)² + (−14.4)² + (−12.4)² + (−4.4)² = 1445

标准差

s = √(1445/4) = 19.01

答案

s = 19.01

10.描述统计

答案: z = −2

标准化

z = (160 − 170)/5 = −2

答案

z = −2

11.概率

答案: σ = 12.44

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.3 + 20·0.2 + 30·0.15 + 40·0.35 = 25.5

平方的均值

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.2 + 900·0.15 + 1600·0.35 = 805

方差

Var(X) = 805 − 25.5² = 154.8

σ = √154.8 = 12.44

答案

σ = 12.44

12.概率

答案: P = 0.09724

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 3) = 35·0.7³·0.3⁴ = 35·0.343·0.0081 = 0.09724

答案

P = 0.09724

13.正态分布

答案: z = 0.53

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.4039)/2 = 0.7019

反向查 z 表

在表中找到 0.7019，读出 z。

z = 0.53

答案

z = 0.53

14.正态分布

答案: P = 0.9706

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

概率

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

答案

P = 0.9706

15.置信区间

答案: E = 8.895

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 11, t = 2.201

误差范围

E = 2.201·14/√12 = 8.895

答案

E = 8.895

16.置信区间

答案: n = 783

解出 n

n = (1.645·17/1)² = 782

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 783

答案

n = 783

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25

检验统计量

t = (123 − 120)/1.25 = 2.4

答案

t = 2.4

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 100.7

误差范围

E = 1.645·4/√64 = 0.8225

区间端点

L = 101.5 − 0.8225 = 100.7

答案

L = 100.7

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9927

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 608/6 = 101.3

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 368

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1963

答案

r = 0.9927

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 40.62

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 326/6 = 54.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

回归直线

b = 240/70 = 3.429

a = 54.33 − 3.429·7 = 30.33

ŷ = 30.33 + 3.429·x

预测

ŷ = 30.33 + 3.429·3 = 40.62

答案

ŷ = 40.62

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