CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €10 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0005% / 4n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 3.6% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €325。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €3253.6% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€5 000, €8 000, €8 000, €9 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €40 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €6 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €40 000CF = €6 500n = 7

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 9 年后到期，每年付息。到期收益率为 6% 时其售价为 €932。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 9P = €932YTM = 6%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，分两次半年支付，11 年后到期。其售价为 €920。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5% (2×)n = 11P = €920

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 5%。税率为 21%。求 WACC。

E = €4 000 000P_s = €1 500 000D = €3 000 000r_e = 11%r_p = 7%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €11.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 3%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 3%r_m = 7%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：13, 14, 58, 49, 13。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。数值高于 80 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 10x = 80

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X + 1。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35Y = 2X + 1

σ_Y =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.6517。求 z，保留两位小数。

A = 0.6517

z =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 90%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 41，标准差 s = 12。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 30x̄ = 41s = 1295%t(29) = 2.045

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 8。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 8E = 2.599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 122.1，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 122.1s = 5n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 12。求最小样本量 n。

σ = 12E = 2.595%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 2.5 时的 ŷ。

n = 6x = 2.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 7800 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/4 = 0.0125

N = 4·5 = 20

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.282 = €7 800.09

答案

PV = €7 800.09

2.货币的时间价值

答案: N = 88 次还款

将年金公式变形

i = 0.003

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.003/325 = 0.7692

用对数求解

N = −ln(0.7692)/ln(1.003) = 87.59

向上取整到整次还款

87 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 88

答案

N = 88 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4454 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 5 000/1.08 = 4 629.63

CF₂/(1 + 0.08)² = 8 000/1.166 = 6 858.71

CF₃/(1 + 0.08)³ = 8 000/1.26 = 6 350.66

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 9 000/1.36 = 6 615.27

相加

NPV = €4 454.27

答案

NPV = €4 454.27

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 3.329 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 40 000/6 500 = 6.154

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 3%: 6.23

i = 4%: 6.002

IRR = 3.329%

答案

IRR = 3.329%

5.债券定价与收益率

答案: c = 5 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.06)⁻⁹ = €591.90

票息

C = (932 − 591.90)/6.802 = €50.00

票面利率

c = 50/1000 = 5%

答案

c = 5%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.004 %

每期

C = €25.00, N = 22

数值求解

i = 3.002% 每半年

YTM

YTM = 2·3.002% = 6.004%

答案

YTM = 6.004%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.806 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 4 000 000 + 1 500 000 + 3 000 000 = €8 500 000

E/V = 0.4706, P_s/V = 0.1765, D/V = 0.3529

WACC

WACC = 0.4706·11% + 0.1765·7% + 0.3529·5%·(1 − 0.21) = 7.806%

答案

WACC = 7.806%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.885 %

市场价值

E = 4 000 000·€11.50 = €46 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.9·4% = 6.6%

权重

V = €56 000 000, E/V = 0.8214, D/V = 0.1786

WACC

WACC = 0.8214·6.6% + 0.1786·3.5%·(1 − 0.258) = 5.885%

答案

WACC = 5.885%

9.描述统计

答案: s = 22.23

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 147/5 = 29.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16.4)² + (−15.4)² + 28.6² + 19.6² + (−16.4)² = 1977

标准差

s = √(1977/4) = 22.23

答案

s = 22.23

10.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

答案

P = 0.9772

11.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

12.概率

答案: σ_Y = 1.673

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 1, Var(X) = 0.7, σ_X = 0.8367

线性变换

σ_Y = |2|·0.8367 = 1.673

答案

σ_Y = 1.673

均值确实会改变：E(Y) = 2·1 + 1 = 3。

13.正态分布

答案: z = −0.39

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.6517 = 0.3483

反向查 z 表

在表中找到 0.3483，读出 z。

z = −0.39

答案

z = −0.39

14.正态分布

答案: x = 119.2 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 分

答案

x = 119.22 分

15.置信区间

答案: 下限 = 36.52

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.045

误差范围

E = 2.045·12/√30 = 4.48

区间

41 ± 4.48 → [36.52, 45.48]

答案

下限 = 36.52

16.置信区间

答案: n = 68

解出 n

n = (2.576·8/2.5)² = 67.95

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 68

答案

n = 68

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.94

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

检验统计量

t = (122.1 − 120)/0.7143 = 2.94

答案

t = 2.94

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 89

解出 n

n = (1.96·12/2.5)² = 88.51

向上取整

n = 89

答案

n = 89

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9647

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 613/5 = 122.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 513

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3031

决定系数

r² = 513²/(90·3031) = 0.9647

答案

r² = 0.9647

y 的变异中约有 96.47% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 60.9

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 410/6 = 68.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

回归直线

b = 65/17.5 = 3.714

a = 68.33 − 3.714·4.5 = 51.62

ŷ = 51.62 + 3.714·x

预测

ŷ = 51.62 + 3.714·2.5 = 60.9

答案

ŷ = 60.9

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