电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

V₁ = 30 VI_s = 4 AV_s = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 Ω

I_x = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VV₂ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₅ 的电流 I_R5。

V₁ = 10 VV₂ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 8 Ω

I_R5 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 18 VI_s = 3 AR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

V_R2 = V

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 18 VI_s = 2.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 30 VI_s = 3 AR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±14 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 1 kΩR_f = 22 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.7 VV₂ = −0.1 VR₁ = 22 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 1.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 1.5 AR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 2.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 5 VV_th = 2.5 VT = 25 msR = 4.7 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.119 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 8 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5.935 Ω

R_eq = R₁ + 5.935 = 6 + 5.935 = 11.94 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/11.94 = 1.508 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.508·6 = 8.951 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8.951/8 = 1.119 A

答案

I_R2 = 1.119 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.4889 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 10 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 4.074 Ω

R₃ + 4.074 = 9.074 Ω

R₂ ∥ 9.074 = 2.776 Ω

R_eq = R₁ + 2.776 = 10 + 2.776 = 12.78 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/12.78 = 0.7044 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.7044·10 = 1.956 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.956/4 = 0.4889 A

答案

I_R2 = 0.4889 A

3.节点分析

答案: V_A = 10.94 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 15)/2 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.9·V_A − 0.2·V_B = 7.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/5 = 2.5

−0.2·V_A + 0.4·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.9)(0.4) − (−0.2)(−0.2) = 0.32

V_A = Δ₁/Δ = 3.5/0.32 = 10.94 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.75/0.32 = 11.72 V

答案

V_A = 10.94 V

4.节点分析

答案: I_x = −3.448 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 12

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 30)/6 + V_A/4 + (V_A − 12)/15 = 4

V_A·(1/6 + 1/4 + 1/15) = 4 + 30/6 + 12/15 = 9.8

V_A = 9.8/0.4833 = 20.28 V

V_B = 8.276 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

I_R1 = (30 − 20.28)/6 = 1.621 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = 1.621 − 20.28/4 = −3.448 A

答案

I_x = −3.448 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I_R2 = 0.9565 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 30

13·I₁ − 10·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−18)

−10·I₁ + 13·I₂ = −18

求解

Δ = (13)(13) − (−10)(−10) = 69

I₁ = Δ₁/Δ = 210/69 = 3.043 A

I₂ = Δ₂/Δ = 66/69 = 0.9565 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.9565 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R5 = 0.8885 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 10

10·I₁ − 5·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 21·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−18)

−8·I₂ + 18·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2690

I₁ = Δ₁/Δ = 2420/2690 = 0.8996 A

I₂ = Δ₂/Δ = −540/2690 = −0.2007 A

I₃ = Δ₃/Δ = −2930/2690 = −1.089 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 0.8885 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R2 = −14.47 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+15 = 25 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 8·25/(8+25) = 6.061 Ω

V_A = 18·6.061/(6+6.061) = 9.045 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 9.045·15/25 = 5.427 V

V_R2′ = 0 − V_A = 0 − 9.045 = −9.045 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 15 ∥ 13.43 = 7.085 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·7.085 = 21.26 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 21.26·3.429/13.43 = 5.427 V

V_R2″ = 0 − V_A = 0 − 5.427 = −5.427 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = (−9.045) + (−5.427) = −14.47 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 3 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 6 ∥ 8 = 3.429 Ω

V_A = 18·3.429/(12+3.429) = 4 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4·6/8 = 3 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 4 Ω，所以左侧路径为 R₂+4 = 6 Ω

R_eq = R₄ ∥ 6 = 3 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2.5·3 = −7.5 V

V_A = V_B·4/6 = −5 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 4 Ω

V_A‴ = V₂·4/(6 + 2 + 4) = 0.3333·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 4 + (−5) + 0.3333·V₂ = 0

V₂ = 1/0.3333 = 3 V

答案

V₂ = 3 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.3051 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.857 + 2 = 4.857 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·4/(10+4) = 5.143 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 5.143/(4.857 + 12) = 0.3051 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 56.73 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·5/(3+5) = 1.875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.875 + 8 = 9.875 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 18.75 + 3·1.875 = 24.38 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 24.38 + 3·8 = 48.38 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 48.38/(9.875 + 15) = 1.945 A

P_L = I_L²·R_L = 1.945²·15 = 56.73 W

11.运放电路

答案: V_in,max = 0.6087 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 22/1 = 23

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/23 = 0.6087 V

答案

V_in,max = 0.6087 V

12.运放电路

答案: V_out = −1.678 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.7/22 = 0.07727 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0.1/100 = −0.001 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.07627 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −22·0.07627 = −1.678 V

答案

V_out = −1.678 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.5518 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

电流的衰减

i(t) = 1.5·e^−1/1 = 0.5518 A

答案

i = 0.5518 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 7.674 µF

所需的时间常数

2.5 = 5·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(5/(5 − 2.5))

τ = 25/0.6931 = 36.07 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 36.07/4.7 = 7.674 µF

答案

C = 7.674 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数

电流的衰减

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th