电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₂。

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩV₂ = 12 VR₂ = 10 ΩV₃ = 30 VR₃ = 20 Ω

I₂ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AV₂ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 15 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 15 VV₂ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 Ω

V_R3 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 36 VV₂ = 9 VR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 25 Ω

V_R2 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 30 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

V_R2 = V

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 5 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 8 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 9 VI_s = 1.5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 21。

R₁ = 22 kΩA_v = 21

R_f = kΩ

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 1 VV₂ = 1.8 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 2 kΩR₃ = 10 kΩR₄ = 10 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 15 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 15 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 15 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 80 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 10 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µFt = 80 ms

i₂ = mA

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 8.679 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 20 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω

R_eq = R₁ + 2.679 = 6 + 2.679 = 8.679 Ω

答案

R_eq = 8.679 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 3.211 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 20 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 12.31 Ω

R₃ + 12.31 = 20.31 Ω

R₂ ∥ 20.31 = 3.342 Ω

R_eq = R₁ + 3.342 = 6 + 3.342 = 9.342 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9.342 = 3.211 A

答案

I_R1 = 3.211 A

3.节点分析

答案: I₂ = −3 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 30)/5 + (V_A − (−12))/10 + (V_A − 30)/20 = 0

求 V_A

V_A = (30/5 + (−12)/10 + 30/20) / (1/5 + 1/10 + 1/20) = 6.3/0.35 = 18 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₂ = ((−12) − V_A)/R₂ = ((−12) − 18)/10 = −3 A

答案

I₂ = −3 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R1 = 4.043 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V, V₂ = 15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 30)/2 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.9167·V_A − 0.25·V_B = 15

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − 15)/10 = 1.5

−0.25·V_A + 0.4167·V_B = 3

求解

Δ = (0.9167)(0.4167) − (−0.25)(−0.25) = 0.3194

V_A = Δ₁/Δ = 7/0.3194 = 21.91 V

V_B = Δ₂/Δ = 6.5/0.3194 = 20.35 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (30 − 21.91)/2 = 4.043 A

5.网孔分析

答案: V_R3 = 8.667 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 15

14·I₁ − 4·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−24)

−4·I₁ + 14·I₂ = −24

求解

Δ = (14)(14) − (−4)(−4) = 180

I₁ = Δ₁/Δ = 114/180 = 0.6333 A

I₂ = Δ₂/Δ = −276/180 = −1.533 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 2.167 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 2.167·4 = 8.667 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R2 = 0.6506 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

30·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 36

36·I₁ − 6·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 6(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−6·I₁ + 61·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−9)

−25·I₂ + 45·I₃ = −9

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 74700

I₁ = Δ₁/Δ = 74970/74700 = 1.004 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1620/74700 = 0.02169 A

I₃ = Δ₃/Δ = −14040/74700 = −0.188 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.02169 A

V_R2 = I_R2·R₂ = 0.02169·30 = 0.6506 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R2 = 10 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 2+10 = 12 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω

V_A = 30·2.4/(6+2.4) = 8.571 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 8.571·10/12 = 7.143 V

V_R2′ = V_A − 0 = 8.571 − 0 = 8.571 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 4 = 2.857 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·2.857 = 2.857 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 2.857·2/4 = 1.429 V

V_R2″ = V_A − 0 = 1.429 − 0 = 1.429 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = 8.571 + 1.429 = 10 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 30 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 30 = 12 Ω

V_A = 5·12/(20+12) = 1.875 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.875·15/30 = 0.9375 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 10 Ω，所以左侧路径为 R₂+10 = 25 Ω

R_eq = R₄ ∥ 25 = 9.375 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2.5·9.375 = −23.44 V

V_A = V_B·10/25 = −9.375 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 10 Ω

V_A‴ = V₂·10/(15 + 15 + 10) = 0.25·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 1.875 + (−9.375) + 0.25·V₂ = 0

V₂ = 7.5/0.25 = 30 V

答案

V₂ = 30 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.9153 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 8 = 10.73 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·6/(5+6) = 9.818 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 9.818/10.73 = 0.9153 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.33 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·25/(6+25) = 4.839 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.839 + 15 = 19.84 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.258 + 1.5·4.839 = 14.52 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 14.52 + 1.5·15 = 37.02 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 37.02/(19.84 + 8) = 1.33 A

11.运放电路

答案: R_f = 440 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (21 − 1)·22 = 440 kΩ

答案

R_f = 440 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 0.8574 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.8·10/(10 + 10) = 0.9 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(2/4.7)·1 + (1 + 2/4.7)·0.9 = −0.4255 + 1.283 = 0.8574 V

答案

V_out = 0.8574 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 5.518 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 15/10 = 1.5 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−15/15 = 5.518 V

答案

v_L = 5.518 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 0.9636 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 10·1/(2.2 + 1) = 3.125 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·68 = 68 ms

放电

v_C(t) = 3.125·e^−80/68 = 0.9636 V

i₂ = v_C/R₂ = 0.9636/1 = 0.9636 mA

答案

i₂ = 0.9636 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th