电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 30 VI_s = 3 AR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AV₂ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 12 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 6 VV₂ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₅ 两端按图示极性的电压 V_R5。

V₁ = 15 VV₂ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 30 Ω

V_R5 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VI_s = 1.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VI_s = 1 AV₂ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 30 VI_s = 2 AR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±12 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 1 kΩR_f = 22 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.4 VV₂ = 0.2 VR₁ = 47 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 15 VR = 5 ΩL = 22 mHt = 5 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 5 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 10 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 1 kΩC = 10 µFt = 5 ms

i₂ = mA

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.091 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1.75 Ω

R_eq = R₁ + 1.75 = 12 + 1.75 = 13.75 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/13.75 = 1.091 A

答案

I_R1 = 1.091 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 24.16 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 5 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 5.185 Ω

R₃ + 5.185 = 13.19 Ω

R₂ ∥ 13.19 = 9.16 Ω

R_eq = R₁ + 9.16 = 15 + 9.16 = 24.16 Ω

答案

R_eq = 24.16 Ω

3.节点分析

答案: V_B = −6.218 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/15 + (V_A − 30)/20 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.2·V_A − 0.08333·V_B = 1.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/12 = (−3)

−0.08333·V_A + 0.4167·V_B = −3

求解

Δ = (0.2)(0.4167) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.07639

V_A = Δ₁/Δ = 0.375/0.07639 = 4.909 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.475/0.07639 = −6.218 V

答案

V_B = −6.218 V

4.节点分析

答案: I_R4 = 0.9315 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V, V₂ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/30 + (V_A − 30)/10 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.2167·V_A − 0.08333·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 10)/3 = 1.5

−0.08333·V_A + 0.5·V_B = 4.833

求解

Δ = (0.2167)(0.5) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.1014

V_A = Δ₁/Δ = 1.903/0.1014 = 18.77 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.297/0.1014 = 12.79 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (12.79 − 10)/3 = 0.9315 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.8182 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 6

12·I₁ − 6·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−12)

−6·I₁ + 14·I₂ = −12

求解

Δ = (12)(14) − (−6)(−6) = 132

I₁ = Δ₁/Δ = 12/132 = 0.09091 A

I₂ = Δ₂/Δ = −108/132 = −0.8182 A

答案

I₂ = −0.8182 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R5 = 15.93 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 15

23·I₁ − 20·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

8·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 58·I₂ − 30·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−36)

−30·I₂ + 55·I₃ = −36

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 30670

I₁ = Δ₁/Δ = 12750/30670 = 0.4157 A

I₂ = Δ₂/Δ = −8340/30670 = −0.2719 A

I₃ = Δ₃/Δ = −24624/30670 = −0.8029 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 0.5309 A

V_R5 = I_R5·R₅ = 0.5309·30 = 15.93 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = 1.059 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 6+6 = 12 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω

V_A = 6·1.714/(8+1.714) = 1.059 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1.059·6/12 = 0.5294 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (1.059 − 0)/2 = 0.5294 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 8·2/(8+2) = 1.6 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 6 ∥ 7.6 = 3.353 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·3.353 = 5.029 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 5.029·1.6/7.6 = 1.059 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (1.059 − 0)/2 = 0.5294 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = 0.5294 + 0.5294 = 1.059 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R2 = 0.3333 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 2 ∥ 12 = 1.714 Ω

V_A = 10·1.714/(12+1.714) = 1.25 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.25·4/12 = 0.4167 V

I_R2′ = (V_B − V_A)/R₂ = (0.4167 − 1.25)/8 = −0.1042 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.714 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.714 = 9.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ 9.714 = 2.833 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−1)·2.833 = −2.833 V

V_A = V_B·1.714/9.714 = −0.5 V

I_R2″ = (V_B − V_A)/R₂ = (−2.833 − −0.5)/8 = −0.2917 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 10·9.714/13.71 = 7.083 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 7.083·1.714/9.714 = 1.25 V

I_R2‴ = (V_B − V_A)/R₂ = (7.083 − 1.25)/8 = 0.7292 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = (−0.1042) + (−0.2917) + 0.7292 = 0.3333 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 17.73 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 15 = 17.73 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 2.789 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 15 = 19 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15 + 2·4 = 23 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 23 + 2·15 = 53 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 53/19 = 2.789 A

11.运放电路

答案: V_in,max = 0.5217 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 22/1 = 23

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/23 = 0.5217 V

答案

V_in,max = 0.5217 V

12.运放电路

答案: V_out = −1.08 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.4/47 = 0.02979 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.2/1 = 0.2 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.2298 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·0.2298 = −1.08 V

答案

V_out = −1.08 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 45.65 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 5 Ω = 4.4 ms

i(∞) = V_s/R = 15/5 = 3 A

给定时刻的电流

i(t) = 3·(1 − e^−5/4.4) = 2.037 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·22·2.037² = 45.65 mJ

答案

W = 45.65 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 0.7776 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 10·1/(6.8 + 1) = 1.282 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·10 = 10 ms

放电

v_C(t) = 1.282·e^−5/10 = 0.7776 V

i₂ = v_C/R₂ = 0.7776/1 = 0.7776 mA

答案

i₂ = 0.7776 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th