电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

I_s = 1 AV_s = 8 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 Ω

I_x = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 10 VI_s = 3 AV₂ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 4 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VV₂ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 18 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AV₂ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 15 VI_s = 3 AR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −0.3 VR₁ = 4.7 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.3 VV₂ = 1.1 VR₁ = 22 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。电流降到 0.25 A 需要多长时间？求 t。

i(0) = 2.5 AR = 22 ΩL = 33 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。求 t = 150 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR = 4.7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 24 Vt = 150 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.5714 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 12·6/(12+6) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 10 + 4 = 14 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/14 = 1.714 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1.714·10 = 6.857 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.857/12 = 0.5714 A

答案

I_R2 = 0.5714 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 13.94 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 10 Ω

R₃ + 10 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 8.936 Ω

R_eq = R₁ + 8.936 = 5 + 8.936 = 13.94 Ω

答案

R_eq = 13.94 Ω

3.节点分析

答案: I_x = 0.8571 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 8

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/4 + (V_A + 8)/10 = 1

V_A = (1 − 8/10)/(1/4 + 1/10) = 0.5714 V

V_B = 0.5714 + 8 = 8.571 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

I_x = V_B/R₂ = 8.571/10 = 0.8571 A

答案

I_x = 0.8571 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R4 = −1.671 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V, V₂ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 10)/2 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.9167·V_A − 0.25·V_B = 5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − 24)/6 = 3

−0.25·V_A + 0.6667·V_B = 7

求解

Δ = (0.9167)(0.6667) − (−0.25)(−0.25) = 0.5486

V_A = Δ₁/Δ = 5.083/0.5486 = 9.266 V

V_B = Δ₂/Δ = 7.667/0.5486 = 13.97 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (13.97 − 24)/6 = −1.671 A

5.网孔分析

答案: I_R3 = 1.3 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 12

12·I₁ − 6·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−15)

−6·I₁ + 18·I₂ = −15

求解

Δ = (12)(18) − (−6)(−6) = 180

I₁ = Δ₁/Δ = 126/180 = 0.7 A

I₂ = Δ₂/Δ = −108/180 = −0.6 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 1.3 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 1.042 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 9

27·I₁ − 25·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

3·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 3(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 31·I₂ − 3·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 3(I₃ − I₂) = (−24)

−3·I₂ + 28·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 5693

I₁ = Δ₁/Δ = 5931/5693 = 1.042 A

I₂ = Δ₂/Δ = 4356/5693 = 0.7652 A

I₃ = Δ₃/Δ = −4413/5693 = −0.7752 A

答案

I₁ = 1.042 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = 0.05263 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 4+10 = 14 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·14/(3+14) = 2.471 Ω

V_A = 18·2.471/(2+2.471) = 9.947 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 9.947·10/14 = 7.105 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (9.947 − 7.105)/4 = 0.7105 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 5.2 = 3.421 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·3.421 = 3.421 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 3.421·1.2/5.2 = 0.7895 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (0.7895 − 3.421)/4 = −0.6579 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0.7105 + (−0.6579) = 0.05263 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R2 = −1.26 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 55 = 3.729 Ω

V_A = 24·3.729/(20+3.729) = 3.771 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.771·25/55 = 1.714 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (3.771 − 1.714)/30 = 0.06857 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.333 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.333 = 33.33 Ω

R_eq = R₄ ∥ 33.33 = 14.29 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·14.29 = 35.71 V

V_A = V_B·3.333/33.33 = 3.571 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (3.571 − 35.71)/30 = −1.071 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 20·4/(20+4) = 3.333 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 15·33.33/58.33 = 8.571 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 8.571·3.333/33.33 = 0.8571 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (0.8571 − 8.571)/30 = −0.2571 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = 0.06857 + (−1.071) + (−0.2571) = −1.26 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 3.6 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 5 = 9.8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·8/(12+8) = 3.6 V

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 46.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·10/(10+10) = 5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5 + 8 = 13 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.5 + 3·5 = 22.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 22.5 + 3·8 = 46.5 V

11.运放电路

答案: V_out = −3.3 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.3 V

I = V₋/R₁ = −0.3/4.7 = −0.06383 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −0.3 + (−0.06383)·47 = −3.3 V

答案

V_out = −3.3 V

12.运放电路

答案: V_out = −2.173 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.3/22 = −0.01364 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.1/1 = 1.1 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1.086 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −2·1.086 = −2.173 V

答案

V_out = −2.173 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 3.454 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms

求解时间

0.25 = 2.5·e^−t/τ → t = τ·ln(2.5/0.25)

t = 1.5·ln(10) = 3.454 ms

答案

t = 3.454 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 22.03 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 47 µF = 220.9 ms

v_C(t) = 20 + (24 − 20)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(150) = 20 + (4)·e^−150/220.9 = 22.03 V

答案

v_C = 22.03 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th