电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 3 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₃。

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩV₂ = 15 VR₂ = 12 ΩV₃ = 12 VR₃ = 10 Ω

I₃ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VI_s = 4 AV₂ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 30 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VV₂ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 36 VV₂ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 20 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 2 V、I_s = 4 mA 时，I = −2.2 mA；V_s = 2 V、I_s = 10 mA 时，I = −6.7 mA。求 V_s = 12 V、I_s = 1 mA 时的负载电流 I。

2 V, 4 mA → −2.2 mA2 V, 10 mA → −6.7 mAV_s = 12 V, I_s = 1 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 10 VI_s = 1.5 AV₂ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

P_R1 = W

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 10 VI_s = 6 AR₁ = 12 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −0.9 VR₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −1 VV₂ = 1.1 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 1 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 20 ms 时的电流 i。

i(0) = 2 AR = 15 ΩL = 150 mHt = 20 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.191 A？求 t。

V_s = 6 VR₁ = 22 ΩR₂ = 33 ΩL = 33 mH

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.3375 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 15 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

R_eq = R₁ + 6.667 = 20 + 6.667 = 26.67 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/26.67 = 0.3375 A

答案

I_R1 = 0.3375 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 29.19 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 30 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 14.29 Ω

R₃ + 14.29 = 39.29 Ω

R₂ ∥ 39.29 = 9.192 Ω

R_eq = R₁ + 9.192 = 20 + 9.192 = 29.19 Ω

答案

R_eq = 29.19 Ω

3.节点分析

答案: I₃ = −0.08108 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 12)/8 + (V_A − 15)/12 + (V_A − 12)/10 = 0

求 V_A

V_A = (12/8 + 15/12 + 12/10) / (1/8 + 1/12 + 1/10) = 3.95/0.3083 = 12.81 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₃ = (12 − V_A)/R₃ = (12 − 12.81)/10 = −0.08108 A

答案

I₃ = −0.08108 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R1 = −0.3407 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V, V₂ = 6 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/20 + (V_A − 12)/30 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.2833·V_A − 0.2·V_B = 0.4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/30 + (V_B − V_A)/5 + (V_B − 6)/15 = 4

−0.2·V_A + 0.3·V_B = 4.4

求解

Δ = (0.2833)(0.3) − (−0.2)(−0.2) = 0.045

V_A = Δ₁/Δ = 1/0.045 = 22.22 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.327/0.045 = 29.48 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 22.22)/30 = −0.3407 A

5.网孔分析

答案: I_R2 = −1.52 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 6

18·I₁ − 15·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−24)

−15·I₁ + 25·I₂ = −24

求解

Δ = (18)(25) − (−15)(−15) = 225

I₁ = Δ₁/Δ = −210/225 = −0.9333 A

I₂ = Δ₂/Δ = −342/225 = −1.52 A

答案

I_R2 = I₂ = −1.52 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 1.121 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 36

14·I₁ − 12·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 20(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 37·I₂ − 20·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 20(I₃ − I₂) = (−24)

−20·I₂ + 35·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 7490

I₁ = Δ₁/Δ = 26460/7490 = 3.533 A

I₂ = Δ₂/Δ = 8400/7490 = 1.121 A

I₃ = Δ₃/Δ = −336/7490 = −0.04486 A

答案

I₂ = 1.121 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 4.05 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

2·k₁ + 4·k₂ = −2.2

2·k₁ + 10·k₂ = −6.7

求常数

Δ = (2)(10) − (4)(2) = 12

k₁ = Δ₁/Δ = 4.8/12 = 0.4

k₂ = Δ₂/Δ = −9/12 = −0.75

k₁ = 0.4 mA/V, k₂ = −0.75

预测新的电流

I = 0.4·12 + (−0.75)·1 = 4.05 mA

答案

I = 4.05 mA

8.叠加定理

答案: P_R1 = 3.206 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 45 = 3.673 Ω

V_A = 10·3.673/(2+3.673) = 6.475 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.475·15/45 = 2.158 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (10 − 6.475)/2 = 1.763 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.333 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.333 = 31.33 Ω

R_eq = R₄ ∥ 31.33 = 10.14 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·10.14 = 15.22 V

V_A = V_B·1.333/31.33 = 0.6475 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 0.6475)/2 = −0.3237 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 12·31.33/46.33 = 8.115 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 8.115·1.333/31.33 = 0.3453 V

I_R1‴ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 0.3453)/2 = −0.1727 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ + I_R1‴ = 1.763 + (−0.3237) + (−0.1727) = 1.266 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 1.266²·2 = 3.206 W

答案

P_R1 = 3.206 W

把各单独情况下的功率相加会得到 6.483 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.4412 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 2 = 10.57 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·15/(20+15) = 6.429 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 6.429/(10.57 + 4) = 0.4412 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 6.676 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·30/(12+30) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 2 = 10.57 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7.143 + 6·8.571 = 58.57 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 58.57 + 6·2 = 70.57 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 70.57/10.57 = 6.676 A

11.运放电路

答案: V_out = −2.823 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −0.9 V

I = V₋/R₁ = −0.9/22 = −0.04091 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −0.9 + (−0.04091)·47 = −2.823 V

答案

V_out = −2.823 V

12.运放电路

答案: I_f = 0.3372 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −1/4.7 = −0.2128 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.1/2 = 0.55 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.3372 mA

答案

I_f = 0.3372 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2707 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e^−20/10 = 0.2707 A

答案

i = 0.2707 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.4152 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 6/22 = 0.2727 A

i(∞) = 6/(22 + 33) = 0.1091 A

τ = L/R = 33/55 = 0.6 ms

i(t) = 0.1091 + (0.2727 − 0.1091)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.191 − 0.1091)/(0.2727 − 0.1091) = 0.5006

t = 0.6·ln(1.998) = 0.4152 ms

答案

t = 0.4152 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

答案

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th