电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 24 VI_s = 1 AV₂ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 12 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 10 VV₂ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 Ω

V_R2 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₅ 的电流 I_R5。

V₁ = 5 VV₂ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 Ω

I_R5 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 6 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

P_R1 = W

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 25 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 24 VI_s = 2 AR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 25 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 31。

R₁ = 4.7 kΩA_v = 31

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 0.9 VV₂ = −1.5 VR₁ = 1 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 22 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求开关闭合后电路的时间常数 τ。

V_s = 20 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µF

τ = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 20 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 18.5 V？求 t。

V_s = 15 VR = 10 kΩC = 100 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 3.636 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 3·9/(3+9) = 2.25 Ω

R_eq = R₁ + 2.25 = 6 + 2.25 = 8.25 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/8.25 = 3.636 A

答案

I_R1 = 3.636 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 2.611 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 20 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 2.791 Ω

R₃ + 2.791 = 10.79 Ω

R₂ ∥ 10.79 = 5.19 Ω

R_eq = R₁ + 5.19 = 4 + 5.19 = 9.19 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/9.19 = 2.611 A

答案

I_R1 = 2.611 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −2.959 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/4 + (V_A − 12)/2 + (V_A − V_B)/3 = 0

1.083·V_A − 0.3333·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/3 = 4

−0.3333·V_A + 0.3833·V_B = 4

求解

Δ = (1.083)(0.3833) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.3042

V_A = Δ₁/Δ = 3.633/0.3042 = 11.95 V

V_B = Δ₂/Δ = 6.333/0.3042 = 20.82 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (11.95 − 20.82)/3 = −2.959 A

4.节点分析

答案: I_R4 = 3.745 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V, V₂ = −30 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/5 + (V_A − 24)/10 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.55·V_A − 0.25·V_B = 2.4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − (−30))/6 = 1

−0.25·V_A + 0.5·V_B = −4

求解

Δ = (0.55)(0.5) − (−0.25)(−0.25) = 0.2125

V_A = Δ₁/Δ = 0.2/0.2125 = 0.9412 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.6/0.2125 = −7.529 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (−7.529 − −30)/6 = 3.745 A

5.网孔分析

答案: V_R2 = −1.25 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 10

12·I₁ − 10·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−10)

−10·I₁ + 15·I₂ = −10

求解

Δ = (12)(15) − (−10)(−10) = 80

I₁ = Δ₁/Δ = 50/80 = 0.625 A

I₂ = Δ₂/Δ = −20/80 = −0.25 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.25 A

V_R2 = I_R2·R₂ = −0.25·5 = −1.25 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R5 = 0.5887 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 5

10·I₁ − 5·I₂ = 5

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 47·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−18)

−12·I₂ + 27·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 10575

I₁ = Δ₁/Δ = 4545/10575 = 0.4298 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1485/10575 = −0.1404 A

I₃ = Δ₃/Δ = −7710/10575 = −0.7291 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 0.5887 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R1 = 0.2336 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+8 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 10·18/(10+18) = 6.429 Ω

V_A = 6·6.429/(12+6.429) = 2.093 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.093·8/18 = 0.9302 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (6 − 2.093)/12 = 0.3256 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 15.45 = 5.271 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·5.271 = 15.81 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 15.81·5.455/15.45 = 5.581 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 5.581)/12 = −0.4651 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ = 0.3256 + (−0.4651) = −0.1395 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = (−0.1395)²·12 = 0.2336 W

答案

P_R1 = 0.2336 W

把各单独情况下的功率相加会得到 3.868 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: V₂ = 29.17 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 25 = 3.448 Ω

V_A = 10·3.448/(30+3.448) = 1.031 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.031·15/25 = 0.6186 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.529 = 13.53 Ω

R_eq = R₄ ∥ 13.53 = 7.113 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2.5·7.113 = −17.78 V

V_A = V_B·3.529/13.53 = −4.639 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω

V_A‴ = V₂·3.529/(15 + 10 + 3.529) = 0.1237·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 1.031 + (−4.639) + 0.1237·V₂ = 0

V₂ = 3.608/0.1237 = 29.17 V

答案

V₂ = 29.17 V

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 17.86 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.857 + 15 = 17.86 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 18.76 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·6/(4+6) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 4 = 6.4 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 14.4 + 2·2.4 = 19.2 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 19.2 + 2·4 = 27.2 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 27.2/(6.4 + 25) = 0.8662 A

P_L = I_L²·R_L = 0.8662²·25 = 18.76 W

11.运放电路

答案: R_f = 141 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (31 − 1)·4.7 = 141 kΩ

答案

R_f = 141 kΩ

12.运放电路

答案: I_f = 0.15 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.9/1 = 0.9 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1.5/2 = −0.75 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.15 mA

答案

I_f = 0.15 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 46.75 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2.2·1/(2.2 + 1) = 0.6875 kΩ

v_C(∞) = 20·1/(2.2 + 1) = 6.25 V

时间常数

τ = R_th·C = 0.6875·68 = 46.75 ms

答案

τ = 46.75 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 356.7 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms

v_C(t) = 15 + (20 − 15)·e^−t/τ

求解时间

18.5 = 15 + (5)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18.5 − 15)/(20 − 15) = 0.7

t = τ·ln((20 − 15)/(18.5 − 15)) = 1000·ln(1.429) = 356.7 ms

答案

t = 356.7 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

输入电流

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th