电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 12 VI_s = 2 AV₂ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 5 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 12 VV₂ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 Ω

V_R1 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 6 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

V_R2 = V

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 13 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 8.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = −6 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 13 mA2·V₁: I = 8.5 mA−I_s: I = −6 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 30 VI_s = 2 AR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 2 VR_a = 1 kΩR_b = 47 kΩR₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 1.9 V 时，电容未充电。求 t = 200 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 1.9 VR = 100 kΩC = 4.7 µFV_sat = ±12 Vt = 200 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 68 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。求 t = 100 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 4.7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 6 Vt = 100 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 14.17 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 15 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 8·27/(8+27) = 6.171 Ω

R_eq = R₁ + 6.171 = 8 + 6.171 = 14.17 Ω

答案

R_eq = 14.17 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 7.137 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 1.733 Ω

R₃ + 1.733 = 3.733 Ω

R₂ ∥ 3.733 = 2.137 Ω

R_eq = R₁ + 2.137 = 5 + 2.137 = 7.137 Ω

答案

R_eq = 7.137 Ω

3.节点分析

答案: V_A = 1.778 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 12)/3 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.9167·V_A − 0.25·V_B = 4

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/4 = (−4)

−0.25·V_A + 0.375·V_B = −4

求解

Δ = (0.9167)(0.375) − (−0.25)(−0.25) = 0.2813

V_A = Δ₁/Δ = 0.5/0.2813 = 1.778 V

V_B = Δ₂/Δ = −2.667/0.2813 = −9.481 V

答案

V_A = 1.778 V

4.节点分析

答案: I_R4 = −0.09109 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V, V₂ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/4 + (V_A − 12)/2 + (V_A − V_B)/4 = 0

V_A − 0.25·V_B = 6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − 12)/30 = 2

−0.25·V_A + 0.4833·V_B = 2.4

求解

Δ = (1)(0.4833) − (−0.25)(−0.25) = 0.4208

V_A = Δ₁/Δ = 3.5/0.4208 = 8.317 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.9/0.4208 = 9.267 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (9.267 − 12)/30 = −0.09109 A

5.网孔分析

答案: V_R1 = 3.522 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 12

9·I₁ − 5·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−15)

−5·I₁ + 13·I₂ = −15

求解

Δ = (9)(13) − (−5)(−5) = 92

I₁ = Δ₁/Δ = 81/92 = 0.8804 A

I₂ = Δ₂/Δ = −75/92 = −0.8152 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.8804 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 0.8804·4 = 3.522 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 0.08871 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 12

20·I₁ − 12·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 6(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 33·I₂ − 6·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

30·I₃ + 6(I₃ − I₂) = (−30)

−6·I₂ + 36·I₃ = −30

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 17856

I₁ = Δ₁/Δ = 11664/17856 = 0.6532 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1584/17856 = 0.08871 A

I₃ = Δ₃/Δ = −14616/17856 = −0.8185 A

答案

I₂ = 0.08871 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R2 = −16.43 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+8 = 11 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·11/(20+11) = 7.097 Ω

V_A = 10·7.097/(20+7.097) = 2.619 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.619·8/11 = 1.905 V

V_R2′ = V_A − 0 = 2.619 − 0 = 2.619 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 13 = 4.952 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−5)·4.952 = −24.76 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −24.76·10/13 = −19.05 V

V_R2″ = V_A − 0 = −19.05 − 0 = −19.05 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = 2.619 + (−19.05) = −16.43 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: I = 5 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 13

2·I₁ + I₂ + I₃ = 8.5

I₁ + I₂ − I₃ = −6

求各贡献

I₁ = 8.5 − 13 = −4.5 mA

I₃ = (13 − (−6))/2 = 9.5 mA

I₂ = 13 − (−4.5) − 9.5 = 8 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = (−4.5) + 9.5 = 5 mA

答案

I = 5 mA

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 7.222 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·5/(4+5) = 2.222 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.222 + 5 = 7.222 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −0.209 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 3 = 7.444 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 13.33 + (−2)·4.444 = 4.444 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 4.444 + (−2)·3 = −1.556 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −1.556/7.444 = −0.209 A

11.运放电路

答案: V_out = 11.16 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 2·47/(1 + 47) = 1.958 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1.958·(1 + 47/10) = 11.16 V

答案

V_out = 11.16 V

12.运放电路

答案: V_out = −0.8085 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 100 kΩ · 4.7 µF = 470 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −1.9/470 = −0.004043 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −1.9·200/470 = −0.8085 V

答案

V_out = −0.8085 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 9.26 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3.091 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0.2727 A

求解时间

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −3.091·ln(0.05) = 9.26 ms

答案

t = 9.26 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 8.851 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 12 + (6 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(100) = 12 + (−6)·e^−100/155.1 = 8.851 V

答案

v_C = 8.851 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th