电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩV₂ = 12 VR₂ = 4 ΩV₃ = 9 VR₃ = 5 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

V₁ = 18 VI_s = 0.5 AV_s = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 Ω

I_x = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 Ω

I_R1 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 9 VV₂ = 5 VR₁ = 6 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 Ω

I_R4 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 24 VI_s = 3 AR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

V_R2 = V

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 12 VI_s = 2.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VI_s = 1.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.1 VR₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±12 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 0.5 V 时，电容未充电。求 t = 5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 0.5 VR = 10 kΩC = 0.1 µFV_sat = ±12 Vt = 5 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 5.4 V 时它必须触发，恰好在开始后 1000 ms。已知 R = 100 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 9 VV_th = 5.4 VT = 1000 msR = 100 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.614 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 20·22/(20+22) = 10.48 Ω

R_eq = R₁ + 10.48 = 10 + 10.48 = 20.48 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/20.48 = 1.172 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1.172·10 = 12.28 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12.28/20 = 0.614 A

答案

I_R2 = 0.614 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.1887 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 8 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 2.308 Ω

R₃ + 2.308 = 22.31 Ω

R₂ ∥ 22.31 = 11.79 Ω

R_eq = R₁ + 11.79 = 20 + 11.79 = 31.79 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/31.79 = 0.1887 A

答案

I_R1 = 0.1887 A

3.节点分析

答案: I₁ = 0.5156 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 10)/12 + (V_A − 12)/4 + (V_A − (−9))/5 = 0

求 V_A

V_A = (10/12 + 12/4 + (−9)/5) / (1/12 + 1/4 + 1/5) = 2.033/0.5333 = 3.813 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = (10 − V_A)/R₁ = (10 − 3.813)/12 = 0.5156 A

答案

I₁ = 0.5156 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_x = −0.6111 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 9

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 18)/12 + V_A/6 + (V_A − 9)/5 = 0.5

V_A·(1/12 + 1/6 + 1/5) = 0.5 + 18/12 + 9/5 = 3.8

V_A = 3.8/0.45 = 8.444 V

V_B = −0.5556 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

I_R1 = (18 − 8.444)/12 = 0.7963 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = 0.7963 − 8.444/6 = −0.6111 A

答案

I_x = −0.6111 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I_R1 = 0.2667 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 12

14·I₁ − 4·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−30)

−4·I₁ + 14·I₂ = −30

求解

Δ = (14)(14) − (−4)(−4) = 180

I₁ = Δ₁/Δ = 48/180 = 0.2667 A

I₂ = Δ₂/Δ = −372/180 = −2.067 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.2667 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R4 = 0.9591 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 9

9·I₁ − 3·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

30·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 37·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−5)

−4·I₂ + 24·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 7632

I₁ = Δ₁/Δ = 7788/7632 = 1.02 A

I₂ = Δ₂/Δ = 468/7632 = 0.06132 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1512/7632 = −0.1981 A

答案

I_R4 = I₁ − I₂ = 0.9591 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R2 = 0.7347 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 12+4 = 16 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·16/(2+16) = 1.778 Ω

V_A = 24·1.778/(20+1.778) = 1.959 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1.959·4/16 = 0.4898 V

V_R2′ = V_A − 0 = 1.959 − 0 = 1.959 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 20·2/(20+2) = 1.818 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 13.82 = 3.102 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−3)·3.102 = −9.306 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −9.306·1.818/13.82 = −1.224 V

V_R2″ = V_A − 0 = −1.224 − 0 = −1.224 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = 1.959 + (−1.224) = 0.7347 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 2.5 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 10 = 6.667 Ω

V_A = 12·6.667/(12+6.667) = 4.286 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.286·5/10 = 2.143 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 7.5 Ω，所以左侧路径为 R₂+7.5 = 12.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ 12.5 = 3.571 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2.5·3.571 = −8.929 V

V_A = V_B·7.5/12.5 = −5.357 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 7.5 Ω

V_A‴ = V₂·7.5/(5 + 5 + 7.5) = 0.4286·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 4.286 + (−5.357) + 0.4286·V₂ = 0

V₂ = 1.071/0.4286 = 2.5 V

答案

V₂ = 2.5 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 3.064 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 5 = 6.714 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·12/(2+12) = 20.57 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 20.57/6.714 = 3.064 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 16.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.615 + 5 = 9.615 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2.077 + 1.5·4.615 = 9 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9 + 1.5·5 = 16.5 V

11.运放电路

答案: V_out = −3.45 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.1 V

I = V₋/R₁ = −1.1/22 = −0.05 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.1 + (−0.05)·47 = −3.45 V

答案

V_out = −3.45 V

12.运放电路

答案: V_out = −2.5 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 10 kΩ · 0.1 µF = 1 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −0.5/1 = −0.5 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −0.5·5/1 = −2.5 V

答案

V_out = −2.5 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 3.21 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0.2 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−5/4.4 = 3.21 V

答案

v_L = 3.21 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 10.91 µF

所需的时间常数

5.4 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 5.4))

τ = 1000/0.9163 = 1091 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 1091/100 = 10.91 µF

答案

C = 10.91 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

所需的时间常数

电容

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th