电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

I_s = 2.5 AV_s = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 5 VI_s = 6 AV₂ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 Ω

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 9 VV₂ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 Ω

V_R1 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 10 VV₂ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 8 V、I_s = 10 mA 时，I = 11.5 mA；V_s = 6 V、I_s = 3 mA 时，I = 5.25 mA。求 V_s = 5 V、I_s = 6 mA 时的负载电流 I。

8 V, 10 mA → 11.5 mA6 V, 3 mA → 5.25 mAV_s = 5 V, I_s = 6 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 5 VI_s = 4 AV₂ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 20 Ω

I_R4 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 15 VI_s = 0.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 1.1 VR₁ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.65 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 4.7 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 4.7 kΩV_in = 0.65 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 40 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 68 µFt = 40 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5932 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 6 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 2·26/(2+26) = 1.857 Ω

R_eq = R₁ + 1.857 = 15 + 1.857 = 16.86 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/16.86 = 0.5932 A

答案

I_R1 = 0.5932 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 33.42 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 30 + 20 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 4.545 Ω

R₃ + 4.545 = 14.55 Ω

R₂ ∥ 14.55 = 8.421 Ω

R_eq = R₁ + 8.421 = 25 + 8.421 = 33.42 Ω

答案

R_eq = 33.42 Ω

3.节点分析

答案: V_B = 13.36 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 12

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/5 + (V_A + 12)/6 = 2.5

V_A = (2.5 − 12/6)/(1/5 + 1/6) = 1.364 V

V_B = 1.364 + 12 = 13.36 V

答案

V_B = 13.36 V

4.节点分析

答案: I_R4 = 1.104 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 5 V, V₂ = −9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/2 + (V_A − 5)/12 + (V_A − V_B)/25 = 0

0.6233·V_A − 0.04·V_B = 0.4167

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/25 + (V_B − (−9))/30 = 6

−0.04·V_A + 0.24·V_B = 5.7

求解

Δ = (0.6233)(0.24) − (−0.04)(−0.04) = 0.148

V_A = Δ₁/Δ = 0.328/0.148 = 2.216 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.57/0.148 = 24.12 V

答案

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (24.12 − −9)/30 = 1.104 A

5.网孔分析

答案: V_R1 = 1.872 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 9

9·I₁ − 5·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−10)

−5·I₁ + 8·I₂ = −10

求解

Δ = (9)(8) − (−5)(−5) = 47

I₁ = Δ₁/Δ = 22/47 = 0.4681 A

I₂ = Δ₂/Δ = −45/47 = −0.9574 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.4681 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 0.4681·4 = 1.872 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −0.2957 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

30·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 10

42·I₁ − 12·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 21·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−6)

−4·I₂ + 19·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 13350

I₁ = Δ₁/Δ = 3542/13350 = 0.2653 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1272/13350 = 0.09528 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3948/13350 = −0.2957 A

答案

I₃ = −0.2957 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 7 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

8·k₁ + 10·k₂ = 11.5

6·k₁ + 3·k₂ = 5.25

求常数

Δ = (8)(3) − (10)(6) = −36

k₁ = Δ₁/Δ = −18/−36 = 0.5

k₂ = Δ₂/Δ = −27/−36 = 0.75

k₁ = 0.5 mA/V, k₂ = 0.75

预测新的电流

I = 0.5·5 + 0.75·6 = 7 mA

答案

I = 7 mA

8.叠加定理

答案: I_R4 = 0.8506 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 24 = 7.059 Ω

V_A = 5·7.059/(2+7.059) = 3.896 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.896·20/24 = 3.247 V

I_R4′ = (V_B − V₂)/R₄ = (3.247 − 0)/20 = 0.1623 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.667 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.667 = 5.667 Ω

R_eq = R₄ ∥ 5.667 = 4.416 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·4.416 = 17.66 V

V_A = V_B·1.667/5.667 = 5.195 V

I_R4″ = (V_B − V₂)/R₄ = (17.66 − 0)/20 = 0.8831 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 2·10/(2+10) = 1.667 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 5·5.667/25.67 = 1.104 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 1.104·1.667/5.667 = 0.3247 V

I_R4‴ = (V_B − V₂)/R₄ = (1.104 − 5)/20 = −0.1948 A

叠加各分量

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴

I_R4 = 0.1623 + 0.8831 + (−0.1948) = 0.8506 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 4.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·15/(5+15) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 8 = 11.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·15/(5+15) = 4.5 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 1.011 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 4 = 12.57 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.429 + 0.5·8.571 = 10.71 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10.71 + 0.5·4 = 12.71 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 12.71/12.57 = 1.011 A

11.运放电路

答案: V_out = 6.27 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 1.1 V

I = V₋/R₁ = 1.1/1 = 1.1 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 1.1 + 1.1·4.7 = 6.27 V

答案

V_out = 6.27 V

12.运放电路

答案: V_out = −1.521 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/4.7 = −2.128

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4.7/47 = 1.1

逐级计算

V₁ = −2.128·0.65 = −1.383 V

V_out = 1.1·(−1.383) = −1.521 V

答案

V_out = −1.521 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 4.414 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4.545 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0.3636 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.3636·(1 − e^−5/4.545) = 0.2426 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·150·0.2426² = 4.414 mJ

答案

W = 4.414 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 15.79 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 30·2.2/(1 + 2.2) = 20.63 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 2.2·68 = 149.6 ms

放电

v_C(t) = 20.63·e^−40/149.6 = 15.79 V

答案

v_C = 15.79 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

构成超节点

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th