电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 6 VI_s = 4 AR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VI_s = 1 AV₂ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 Ω

I_R2 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 24 VV₂ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 12 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 8 V、I_s = 4 mA 时，I = 6.4 mA；V_s = 12 V、I_s = 4 mA 时，I = 8.8 mA。求 V_s = 20 V、I_s = 5 mA 时的负载电流 I。

8 V, 4 mA → 6.4 mA12 V, 4 mA → 8.8 mAV_s = 20 V, I_s = 5 mA

I = mA

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 24 VI_s = 1.5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 30 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 36 VI_s = 2.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 3 VR_a = 2 kΩR_b = 2 kΩR₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 1.7 VV₂ = 1.3 VR₁ = 22 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 10 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 75 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 10 kΩC = 68 µFt = 75 ms

v_C = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 300 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 24 VR₁ = 3.3 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 47 µFt = 300 ms

i₂ = mA

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.895 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 12 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 10·14/(10+14) = 5.833 Ω

R_eq = R₁ + 5.833 = 10 + 5.833 = 15.83 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15.83 = 1.895 A

答案

I_R1 = 1.895 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.8926 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 20 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 9.767 Ω

R₃ + 9.767 = 24.77 Ω

R₂ ∥ 24.77 = 3.444 Ω

R_eq = R₁ + 3.444 = 10 + 3.444 = 13.44 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/13.44 = 0.8926 A

答案

I_R1 = 0.8926 A

3.节点分析

答案: V_B = 16.53 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 6)/6 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.5833·V_A − 0.25·V_B = 1

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/4 = 4

−0.25·V_A + 0.375·V_B = 4

求解

Δ = (0.5833)(0.375) − (−0.25)(−0.25) = 0.1562

V_A = Δ₁/Δ = 1.375/0.1562 = 8.8 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.583/0.1562 = 16.53 V

答案

V_B = 16.53 V

4.节点分析

答案: I_R2 = −0.2316 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 5 V, V₂ = 5 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/25 + (V_A − 5)/30 + (V_A − V_B)/2 = 0

0.5733·V_A − 0.5·V_B = 0.1667

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/2 + (V_B − 5)/5 = 1

−0.5·V_A + 0.8·V_B = 2

求解

Δ = (0.5733)(0.8) − (−0.5)(−0.5) = 0.2087

V_A = Δ₁/Δ = 1.133/0.2087 = 5.431 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.23/0.2087 = 5.895 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (5.431 − 5.895)/2 = −0.2316 A

5.网孔分析

答案: I_R3 = 2.132 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 24

10·I₁ − 8·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−9)

−8·I₁ + 14·I₂ = −9

求解

Δ = (10)(14) − (−8)(−8) = 76

I₁ = Δ₁/Δ = 264/76 = 3.474 A

I₂ = Δ₂/Δ = 102/76 = 1.342 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 2.132 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 1.393 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 15

10·I₁ − 4·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 4(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−4·I₁ + 20·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−15)

−12·I₂ + 20·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2240

I₁ = Δ₁/Δ = 3120/2240 = 1.393 A

I₂ = Δ₂/Δ = −600/2240 = −0.2679 A

I₃ = Δ₃/Δ = −2040/2240 = −0.9107 A

答案

I₁ = 1.393 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 14 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

8·k₁ + 4·k₂ = 6.4

12·k₁ + 4·k₂ = 8.8

求常数

Δ = (8)(4) − (4)(12) = −16

k₁ = Δ₁/Δ = −9.6/−16 = 0.6

k₂ = Δ₂/Δ = −6.4/−16 = 0.4

k₁ = 0.6 mA/V, k₂ = 0.4

预测新的电流

I = 0.6·20 + 0.4·5 = 14 mA

答案

I = 14 mA

8.叠加定理

答案: V₂ = 19.4 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 6 ∥ 32 = 5.053 Ω

V_A = 24·5.053/(30+5.053) = 3.459 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.459·30/32 = 3.243 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 5 Ω，所以左侧路径为 R₂+5 = 7 Ω

R_eq = R₄ ∥ 7 = 5.676 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −1.5·5.676 = −8.514 V

V_A = V_B·5/7 = −6.081 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5 Ω

V_A‴ = V₂·5/(30 + 2 + 5) = 0.1351·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 3.459 + (−6.081) + 0.1351·V₂ = 0

V₂ = 2.622/0.1351 = 19.4 V

答案

V₂ = 19.4 V

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·4/(4+4) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 8 = 10 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·4/(4+4) = 5 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 2.407 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·5/(15+5) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 3 = 6.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 2.5·3.75 = 18.38 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 18.38 + 2.5·3 = 25.88 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 25.88/(6.75 + 4) = 2.407 A

11.运放电路

答案: V_out = 4.705 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3·2/(2 + 2) = 1.5 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1.5·(1 + 47/22) = 4.705 V

答案

V_out = 4.705 V

12.运放电路

答案: I_f = 0.1049 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.7/22 = 0.07727 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.3/47 = 0.02766 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.1049 mA

答案

I_f = 0.1049 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 9.001 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2.2·10/(2.2 + 10) = 1.803 kΩ

v_C(∞) = 24·10/(2.2 + 10) = 19.67 V

时间常数

τ = R_th·C = 1.803·68 = 122.6 ms

充电曲线

v_C(t) = 19.67·(1 − e^−75/122.6) = 9.001 V

答案

v_C = 9.001 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 0.9295 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 24·6.8/(3.3 + 6.8) = 16.16 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 6.8·47 = 319.6 ms

放电

v_C(t) = 16.16·e^−300/319.6 = 6.32 V

i₂ = v_C/R₂ = 6.32/6.8 = 0.9295 mA

答案

i₂ = 0.9295 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th