电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 10 VI_s = 4 AR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 18 VI_s = 1.5 AV_s = 4 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 2 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VI_s = 2 AR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 36 VI_s = 5 AV₂ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 5 VI_s = 2 AR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±14 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 2 kΩR_f = 100 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −2.2 V 时，电容未充电。求 t = 5 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −2.2 VR = 10 kΩC = 0.1 µFV_sat = ±14 Vt = 5 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 11.25 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 R = 4.7 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 15 VV_th = 11.25 VT = 25 msR = 4.7 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.256 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 5·9/(5+9) = 3.214 Ω

R_eq = R₁ + 3.214 = 6 + 3.214 = 9.214 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9.214 = 1.953 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.953·6 = 6.279 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.279/5 = 1.256 A

答案

I_R2 = 1.256 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 5.632 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 12 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 3.2 Ω

R₃ + 3.2 = 9.2 Ω

R₂ ∥ 9.2 = 3.632 Ω

R_eq = R₁ + 3.632 = 2 + 3.632 = 5.632 Ω

答案

R_eq = 5.632 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 80.72 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/20 + (V_A − 10)/6 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.2833·V_A − 0.06667·V_B = 1.667

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/15 = 4

−0.06667·V_A + 0.2333·V_B = 4

求解

Δ = (0.2833)(0.2333) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.06167

V_A = Δ₁/Δ = 0.6556/0.06167 = 10.63 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.244/0.06167 = 20.18 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 20.18·4 = 80.72 W

答案

P_Is = 80.72 W

4.节点分析

答案: V_B = 8.069 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + 4

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 18)/10 + V_A/20 + (V_A + 4)/3 = 1.5

V_A·(1/10 + 1/20 + 1/3) = 1.5 + 18/10 − 4/3 = 1.967

V_A = 1.967/0.4833 = 4.069 V

V_B = 8.069 V

答案

V_B = 8.069 V

5.网孔分析

答案: I₂ = 0.07895 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 24

14·I₁ − 4·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−6)

−4·I₁ + 12·I₂ = −6

求解

Δ = (14)(12) − (−4)(−4) = 152

I₁ = Δ₁/Δ = 264/152 = 1.737 A

I₂ = Δ₂/Δ = 12/152 = 0.07895 A

答案

I₂ = 0.07895 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 0.7389 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 30

23·I₁ − 8·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 8(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−8·I₁ + 15·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

30·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−24)

−2·I₂ + 32·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 8900

I₁ = Δ₁/Δ = 13896/8900 = 1.561 A

I₂ = Δ₂/Δ = 6576/8900 = 0.7389 A

I₃ = Δ₃/Δ = −6264/8900 = −0.7038 A

答案

I₂ = 0.7389 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = 0.443 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 2+12 = 14 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 12·14/(12+14) = 6.462 Ω

V_A = 6·6.462/(5+6.462) = 3.383 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.383·12/14 = 2.899 V

I_R1′ = (V_A − V₁)/R₁ = (3.383 − 6)/5 = −0.5235 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 12 ∥ 5.529 = 3.785 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·3.785 = 7.57 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 7.57·3.529/5.529 = 4.832 V

I_R1″ = (V_A − V₁)/R₁ = (4.832 − 0)/5 = 0.9664 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = (−0.5235) + 0.9664 = 0.443 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R2 = 2.588 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 55 = 3.729 Ω

V_A = 36·3.729/(10+3.729) = 9.778 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 9.778·30/55 = 5.333 V

I_R2′ = (V_B − V_A)/R₂ = (5.333 − 9.778)/25 = −0.1778 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.857 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.857 = 27.86 Ω

R_eq = R₄ ∥ 27.86 = 14.44 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·14.44 = 72.22 V

V_A = V_B·2.857/27.86 = 7.407 V

I_R2″ = (V_B − V_A)/R₂ = (72.22 − 7.407)/25 = 2.593 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 10·27.86/57.86 = 4.815 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 4.815·2.857/27.86 = 0.4938 V

I_R2‴ = (V_B − V_A)/R₂ = (4.815 − 0.4938)/25 = 0.1728 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = (−0.1778) + 2.593 + 0.1728 = 2.588 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.8696 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.615 + 6 = 10.62 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·20/(6+20) = 9.231 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 9.231/10.62 = 0.8696 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 24.33 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 8 = 11.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1.667 + 2·3.333 = 8.333 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8.333 + 2·8 = 24.33 V

11.运放电路

答案: V_in,max = 0.2745 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 100/2 = 51

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/51 = 0.2745 V

答案

V_in,max = 0.2745 V

12.运放电路

答案: V_out = 11 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 10 kΩ · 0.1 µF = 1 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−2.2)/1 = 2.2 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−2.2)·5/1 = 11 V

答案

V_out = 11 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1076 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0.44 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0.12 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.12·(1 − e^−1/0.44) = 0.1076 A

答案

i = 0.1076 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 3.837 µF

所需的时间常数

11.25 = 15·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(15/(15 − 11.25))

τ = 25/1.386 = 18.03 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 18.03/4.7 = 3.837 µF

答案

C = 3.837 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

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