电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 5 VI_s = 5 AV_s = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 18 VV₂ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VV₂ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 2 Ω

I_R1 = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 5 V、I_s = 1 mA 时，I = 9.6 mA；V_s = 5 V、I_s = 10 mA 时，I = 6 mA。求 V_s = 10 V、I_s = 4 mA 时的负载电流 I。

5 V, 1 mA → 9.6 mA5 V, 10 mA → 6 mAV_s = 10 V, I_s = 4 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 吸收的功率 P_R3。

V₁ = 15 VI_s = 4 AV₂ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

P_R3 = W

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 30 VI_s = 2.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 10。

R₁ = 47 kΩA_v = 10

R_f = kΩ

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = −2 VV₂ = −0.2 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 4.7 kΩR₃ = 1 kΩR₄ = 100 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 75%？求 t。

V_s = 12 VR = 47 ΩL = 33 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

V_s = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.017 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 3 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_eq = R₁ + 3.077 = 6 + 3.077 = 9.077 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9.077 = 1.653 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.653·6 = 5.085 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.085/5 = 1.017 A

答案

I_R2 = 1.017 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5194 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 30 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 1.909 Ω

R₃ + 1.909 = 9.909 Ω

R₂ ∥ 9.909 = 6.626 Ω

R_eq = R₁ + 6.626 = 3 + 6.626 = 9.626 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/9.626 = 0.5194 A

答案

I_R1 = 0.5194 A

3.节点分析

答案: V_A = −5 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/10 + (V_A − 10)/10 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.4·V_A − 0.2·V_B = 1

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/5 = (−5)

−0.2·V_A + 0.4·V_B = −5

求解

Δ = (0.4)(0.4) − (−0.2)(−0.2) = 0.12

V_A = Δ₁/Δ = −0.6/0.12 = −5 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.8/0.12 = −15 V

答案

V_A = −5 V

4.节点分析

答案: V_B = 12.39 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 5

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 5)/12 + V_A/20 + (V_A − 5)/4 = 5

V_A·(1/12 + 1/20 + 1/4) = 5 + 5/12 + 5/4 = 6.667

V_A = 6.667/0.3833 = 17.39 V

V_B = 12.39 V

答案

V_B = 12.39 V

5.网孔分析

答案: I_R3 = 0.9643 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 18

18·I₁ − 10·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−9)

−10·I₁ + 18·I₂ = −9

求解

Δ = (18)(18) − (−10)(−10) = 224

I₁ = Δ₁/Δ = 234/224 = 1.045 A

I₂ = Δ₂/Δ = 18/224 = 0.08036 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 0.9643 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R1 = 2.039 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 24

12·I₁ − 2·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 2(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 14·I₂ − 2·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 2(I₃ − I₂) = (−9)

−2·I₂ + 22·I₃ = −9

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 3560

I₁ = Δ₁/Δ = 7260/3560 = 2.039 A

I₂ = Δ₂/Δ = 840/3560 = 0.236 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1380/3560 = −0.3876 A

答案

I_R1 = I₁ = 2.039 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 18.4 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

5·k₁ + 1·k₂ = 9.6

5·k₁ + 10·k₂ = 6

求常数

Δ = (5)(10) − (1)(5) = 45

k₁ = Δ₁/Δ = 90/45 = 2

k₂ = Δ₂/Δ = −18/45 = −0.4

k₁ = 2 mA/V, k₂ = −0.4

预测新的电流

I = 2·10 + (−0.4)·4 = 18.4 mA

答案

I = 18.4 mA

8.叠加定理

答案: P_R3 = 18.55 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 33 = 3.568 Ω

V_A = 15·3.568/(4+3.568) = 7.071 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 7.071·3/33 = 0.6429 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (7.071 − 0)/4 = 1.768 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2 Ω，所以左侧路径为 R₂+2 = 32 Ω

R_eq = R₄ ∥ 32 = 2.743 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·2.743 = 10.97 V

V_A = V_B·2/32 = 0.6857 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (0.6857 − 0)/4 = 0.1714 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 4·4/(4+4) = 2 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 15·32/35 = 13.71 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 13.71·2/32 = 0.8571 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (0.8571 − 0)/4 = 0.2143 A

把电流的各个贡献相加

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴ = 1.768 + 0.1714 + 0.2143 = 2.154 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R3 = I_R3²·R₃ = 2.154²·4 = 18.55 W

答案

P_R3 = 18.55 W

把各单独情况下的功率相加会得到 12.8 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 8 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 6 = 8 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 22.2 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.615 + 15 = 19.62 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.923 + (−2.5)·4.615 = −4.615 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −4.615 + (−2.5)·15 = −42.12 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −42.12/(19.62 + 15) = −1.217 A

P_L = I_L²·R_L = −1.217²·15 = 22.2 W

11.运放电路

答案: R_f = 423 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (10 − 1)·47 = 423 kΩ

答案

R_f = 423 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 1.604 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −0.2·100/(1 + 100) = −0.198 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(4.7/4.7)·(−2) + (1 + 4.7/4.7)·(−0.198) = 2 + (−0.396) = 1.604 V

答案

V_out = 1.604 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 0.9734 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0.7021 ms

i(∞) = V_s/R = 12/47 = 0.2553 A

求解时间

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −0.7021·ln(0.25) = 0.9734 ms

答案

t = 0.9734 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2135 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 9/10 = 0.9 A

i(∞) = 9/(10 + 47) = 0.1579 A

τ = L/R = 22/57 = 0.386 ms

i(t) = 0.1579 + (0.9 − 0.1579)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.1579 + (0.7421)·e^−1/0.386 = 0.2135 A

答案

i = 0.2135 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

构成超节点

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th