电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 18 VI_s = 1.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 1.5 AV₂ = 9 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 2 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 24 VV₂ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 Ω

V_R3 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 18 VV₂ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 25 Ω

V_R1 = V

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 8 V、I_s = 8 mA 时，I = 7.2 mA；V_s = 4 V、I_s = 2 mA 时，I = 2.8 mA。求 V_s = 20 V、I_s = 3 mA 时的负载电流 I。

8 V, 8 mA → 7.2 mA4 V, 2 mA → 2.8 mAV_s = 20 V, I_s = 3 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 9 VI_s = 2 AV₂ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

I_R4 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 12 VI_s = 0.5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 4 VR_a = 2 kΩR_b = 4.7 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.8 VV₂ = −1.7 VR₁ = 2 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 9 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。求 t = 400 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 15 VR = 6.8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 2 Vt = 400 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.9259 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω

R_eq = R₁ + 2.308 = 6 + 2.308 = 8.308 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/8.308 = 1.204 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1.204·6 = 2.778 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.778/3 = 0.9259 A

答案

I_R2 = 0.9259 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 3.759 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 8 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 4.615 Ω

R₃ + 4.615 = 14.62 Ω

R₂ ∥ 14.62 = 1.759 Ω

R_eq = R₁ + 1.759 = 2 + 1.759 = 3.759 Ω

答案

R_eq = 3.759 Ω

3.节点分析

答案: V_A = 5.143 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 18)/8 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.9583·V_A − 0.3333·V_B = 2.25

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/3 = 1.5

−0.3333·V_A + 0.4·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.9583)(0.4) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.2722

V_A = Δ₁/Δ = 1.4/0.2722 = 5.143 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.188/0.2722 = 8.036 V

答案

V_A = 5.143 V

4.节点分析

答案: I_R1 = 0.8223 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V, V₂ = −9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/8 + (V_A − 24)/25 + (V_A − V_B)/10 = 0

0.265·V_A − 0.1·V_B = 0.96

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/10 + (V_B − (−9))/4 = 1.5

−0.1·V_A + 0.85·V_B = −0.75

求解

Δ = (0.265)(0.85) − (−0.1)(−0.1) = 0.2152

V_A = Δ₁/Δ = 0.741/0.2152 = 3.443 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.1028/0.2152 = −0.4774 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (24 − 3.443)/25 = 0.8223 A

5.网孔分析

答案: V_R3 = 9.659 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 24

14·I₁ − 6·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

20·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−6)

−6·I₁ + 26·I₂ = −6

求解

Δ = (14)(26) − (−6)(−6) = 328

I₁ = Δ₁/Δ = 588/328 = 1.793 A

I₂ = Δ₂/Δ = 60/328 = 0.1829 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 1.61 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 1.61·6 = 9.659 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R1 = 13.05 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 18

12·I₁ − 2·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 37·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

4·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−24)

−25·I₂ + 29·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 5260

I₁ = Δ₁/Δ = 6864/5260 = 1.305 A

I₂ = Δ₂/Δ = −6156/5260 = −1.17 A

I₃ = Δ₃/Δ = −9660/5260 = −1.837 A

答案

I_R1 = I₁ = 1.305 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 1.305·10 = 13.05 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 11.2 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

8·k₁ + 8·k₂ = 7.2

4·k₁ + 2·k₂ = 2.8

求常数

Δ = (8)(2) − (8)(4) = −16

k₁ = Δ₁/Δ = −8/−16 = 0.5

k₂ = Δ₂/Δ = −6.4/−16 = 0.4

k₁ = 0.5 mA/V, k₂ = 0.4

预测新的电流

I = 0.5·20 + 0.4·3 = 11.2 mA

答案

I = 11.2 mA

8.叠加定理

答案: I_R4 = −0.2727 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 3 ∥ 15 = 2.5 Ω

V_A = 9·2.5/(3+2.5) = 4.091 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.091·12/15 = 3.273 V

I_R4′ = (V₂ − V_B)/R₄ = (0 − 3.273)/12 = −0.2727 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.5 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.5 = 4.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ 4.5 = 3.273 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·3.273 = 6.545 V

V_A = V_B·1.5/4.5 = 2.182 V

I_R4″ = (V₂ − V_B)/R₄ = (0 − 6.545)/12 = −0.5455 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3·3/(3+3) = 1.5 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 9·4.5/16.5 = 2.455 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 2.455·1.5/4.5 = 0.8182 V

I_R4‴ = (V₂ − V_B)/R₄ = (9 − 2.455)/12 = 0.5455 A

叠加各分量

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴

I_R4 = (−0.2727) + (−0.5455) + 0.5455 = −0.2727 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 10.73 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 8 = 10.73 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 14.05 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.679 + 4 = 6.679 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10.71 + 0.5·2.679 = 12.05 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12.05 + 0.5·4 = 14.05 V

11.运放电路

答案: V_out = 5.612 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 4·4.7/(2 + 4.7) = 2.806 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 2.806·(1 + 4.7/4.7) = 5.612 V

答案

V_out = 5.612 V

12.运放电路

答案: V_out = 0.8723 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.8/2 = −0.4 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1.7/47 = −0.03617 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.4362 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −2·(−0.4362) = 0.8723 V

答案

V_out = 0.8723 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1322 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0.1471 ms

i(∞) = V_s/R = 9/68 = 0.1324 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.1324·(1 − e^−1/0.1471) = 0.1322 A

答案

i = 0.1322 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 5.05 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 15 + (2 − 15)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(400) = 15 + (−13)·e^−400/1496 = 5.05 V

答案

v_C = 5.05 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th