电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 9 VI_s = 6 AV₂ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 30 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 6 VV₂ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 9 VV₂ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 25 Ω

V_R2 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 5 VI_s = 1.5 AV₂ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 25 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 2 VR₁ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.1 VV₂ = 1.5 VR₁ = 22 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 75%？求 t。

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 47 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 5 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 3 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。已知 R = 10 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 5 VV_th = 3 VT = 25 msR = 10 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.1463 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 5 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

R_eq = R₁ + 3.429 = 20 + 3.429 = 23.43 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/23.43 = 0.2561 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.2561·20 = 0.878 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0.878/6 = 0.1463 A

答案

I_R2 = 0.1463 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 22.54 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 13.64 Ω

R₃ + 13.64 = 33.64 Ω

R₂ ∥ 33.64 = 12.54 Ω

R_eq = R₁ + 12.54 = 10 + 12.54 = 22.54 Ω

答案

R_eq = 22.54 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 71.71 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 24)/8 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.3583·V_A − 0.06667·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/15 = 4

−0.06667·V_A + 0.2667·V_B = 4

求解

Δ = (0.3583)(0.2667) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.09111

V_A = Δ₁/Δ = 1.067/0.09111 = 11.71 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.633/0.09111 = 17.93 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 17.93·4 = 71.71 W

答案

P_Is = 71.71 W

4.节点分析

答案: V_B = −35.96 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V, V₂ = −5 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/25 + (V_A − 9)/15 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.1733·V_A − 0.06667·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/30 + (V_B − V_A)/15 + (V_B − (−5))/10 = (−6)

−0.06667·V_A + 0.2·V_B = −6.5

求解

Δ = (0.1733)(0.2) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.03022

V_A = Δ₁/Δ = −0.3133/0.03022 = −10.37 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.087/0.03022 = −35.96 V

答案

V_B = −35.96 V

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.7286 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 6

32·I₁ − 12·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−15)

−12·I₁ + 22·I₂ = −15

求解

Δ = (32)(22) − (−12)(−12) = 560

I₁ = Δ₁/Δ = −48/560 = −0.08571 A

I₂ = Δ₂/Δ = −408/560 = −0.7286 A

答案

I₂ = −0.7286 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R2 = 2.076 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 9

33·I₁ − 30·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 70·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−6)

−25·I₂ + 28·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 18855

I₁ = Δ₁/Δ = 7515/18855 = 0.3986 A

I₂ = Δ₂/Δ = 2610/18855 = 0.1384 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1710/18855 = −0.09069 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.1384 A

V_R2 = I_R2·R₂ = 0.1384·15 = 2.076 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = 0.7619 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 5+10 = 15 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 15·15/(15+15) = 7.5 Ω

V_A = 15·7.5/(10+7.5) = 6.429 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 6.429·10/15 = 4.286 V

I_R3′ = (V_B − V_A)/R₃ = (4.286 − 6.429)/5 = −0.4286 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 11 = 5.238 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·5.238 = 13.1 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 13.1·6/11 = 7.143 V

I_R3″ = (V_B − V_A)/R₃ = (13.1 − 7.143)/5 = 1.19 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = (−0.4286) + 1.19 = 0.7619 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V_R2 = 3.088 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 12 ∥ 18 = 7.2 Ω

V_A = 5·7.2/(20+7.2) = 1.324 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.324·8/18 = 0.5882 V

V_R2′ = V_A − V_B = 1.324 − 0.5882 = 0.7353 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 7.5 Ω，所以左侧路径为 R₂+7.5 = 17.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ 17.5 = 5.49 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−1.5)·5.49 = −8.235 V

V_A = V_B·7.5/17.5 = −3.529 V

V_R2″ = V_A − V_B = −3.529 − −8.235 = 4.706 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 6·17.5/25.5 = 4.118 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 4.118·7.5/17.5 = 1.765 V

V_R2‴ = V_A − V_B = 1.765 − 4.118 = −2.353 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = 0.7353 + 4.706 + (−2.353) = 3.088 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 6 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 3 = 6 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 159 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 25 = 31 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4 + 5·6 = 34 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 34 + 5·25 = 159 V

11.运放电路

答案: V_out = 11.4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 2 V

I = V₋/R₁ = 2/1 = 2 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 2 + 2·4.7 = 11.4 V

答案

V_out = 11.4 V

12.运放电路

答案: V_out = −6.815 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −1.1/22 = −0.05 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.5/1 = 1.5 mA

I_f = I₁ + I₂ = 1.45 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·1.45 = −6.815 V

答案

V_out = −6.815 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.386 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0.2128 A

求解时间

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −1·ln(0.25) = 1.386 ms

答案

t = 1.386 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 2.728 µF

所需的时间常数

3 = 5·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(5/(5 − 3))

τ = 25/0.9163 = 27.28 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 27.28/10 = 2.728 µF

答案

C = 2.728 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th