电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 2 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₂。

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩV₂ = 30 VR₂ = 3 ΩV₃ = 15 VR₃ = 8 Ω

I₂ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 24 VI_s = 1 AV₂ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 6 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 6 VV₂ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 24 VV₂ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 20 Ω

V_R3 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VI_s = 1 AR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AV₂ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 30 VI_s = 4 AR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 3.5 VR_a = 4.7 kΩR_b = 1 kΩR₁ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.1 VV₂ = 0.4 VR₁ = 2 kΩR₂ = 22 kΩR₃ = 1 kΩR₄ = 22 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 2 ms 时的电流 i。

V_s = 15 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 75 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 12 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 1 kΩC = 220 µFt = 75 ms

i₂ = mA

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.253 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 5 + 3 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω

R_eq = R₁ + 2.182 = 5 + 2.182 = 7.182 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/7.182 = 1.253 A

答案

I_R1 = 1.253 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5021 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 2 + 30 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 14.04 Ω

R₃ + 14.04 = 26.04 Ω

R₂ ∥ 26.04 = 4.876 Ω

R_eq = R₁ + 4.876 = 25 + 4.876 = 29.88 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/29.88 = 0.5021 A

答案

I_R1 = 0.5021 A

3.节点分析

答案: I₂ = 3.133 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 6)/6 + (V_A − 30)/3 + (V_A − 15)/8 = 0

求 V_A

V_A = (6/6 + 30/3 + 15/8) / (1/6 + 1/3 + 1/8) = 12.88/0.625 = 20.6 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₂ = (30 − V_A)/R₂ = (30 − 20.6)/3 = 3.133 A

答案

I₂ = 3.133 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_A = 13.87 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V, V₂ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/20 + (V_A − 24)/12 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.1833·V_A − 0.05·V_B = 2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/20 + (V_B − 24)/20 = 1

−0.05·V_A + 0.2667·V_B = 2.2

求解

Δ = (0.1833)(0.2667) − (−0.05)(−0.05) = 0.04639

V_A = Δ₁/Δ = 0.6433/0.04639 = 13.87 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.5033/0.04639 = 10.85 V

答案

V_A = 13.87 V

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.1714 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 6

18·I₁ − 8·I₂ = 6

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−6)

−8·I₁ + 23·I₂ = −6

求解

Δ = (18)(23) − (−8)(−8) = 350

I₁ = Δ₁/Δ = 90/350 = 0.2571 A

I₂ = Δ₂/Δ = −60/350 = −0.1714 A

答案

I₂ = −0.1714 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R3 = −1.295 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 24

32·I₁ − 20·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

4·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 20(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 44·I₂ − 20·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 20(I₃ − I₂) = (−12)

−20·I₂ + 28·I₃ = −12

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 15424

I₁ = Δ₁/Δ = 15168/15424 = 0.9834 A

I₂ = Δ₂/Δ = 5760/15424 = 0.3734 A

I₃ = Δ₃/Δ = −2496/15424 = −0.1618 A

答案

I_R3 = I₃ = −0.1618 A

V_R3 = I_R3·R₃ = −0.1618·8 = −1.295 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = 0.59 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 20+8 = 28 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·28/(6+28) = 4.941 Ω

V_A = 10·4.941/(15+4.941) = 2.478 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.478·8/28 = 0.708 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (2.478 − 0)/6 = 0.413 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 24.29 = 6.018 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·6.018 = 6.018 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 6.018·4.286/24.29 = 1.062 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (1.062 − 0)/6 = 0.177 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = 0.413 + 0.177 = 0.59 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R3 = −2.029 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 33 = 3.568 Ω

V_A = 15·3.568/(30+3.568) = 1.594 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.594·25/33 = 1.208 V

I_R3′ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 1.594)/4 = −0.3986 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.529 = 11.53 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11.53 = 7.89 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·7.89 = 19.73 V

V_A = V_B·3.529/11.53 = 6.039 V

I_R3″ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 6.039)/4 = −1.51 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 30·4/(30+4) = 3.529 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 5·11.53/36.53 = 1.578 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 1.578·3.529/11.53 = 0.4831 V

I_R3‴ = (0 − V_A)/R₃ = (0 − 0.4831)/4 = −0.1208 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = (−0.3986) + (−1.51) + (−0.1208) = −2.029 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.4369 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·5/(6+5) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 12 = 14.73 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·5/(6+5) = 8.182 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 8.182/(14.73 + 4) = 0.4369 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 3.455 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 25·5/(25+5) = 4.167 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.167 + 12 = 16.17 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5 + 4·4.167 = 21.67 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 21.67 + 4·12 = 69.67 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 69.67/(16.17 + 4) = 3.455 A

11.运放电路

答案: V_out = 3.5 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 3.5·1/(4.7 + 1) = 0.614 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 0.614·(1 + 4.7/1) = 3.5 V

答案

V_out = 3.5 V

12.运放电路

答案: V_out = 3.491 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.4·22/(1 + 22) = 0.3826 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(22/2)·0.1 + (1 + 22/2)·0.3826 = −1.1 + 4.591 = 3.491 V

答案

V_out = 3.491 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.5021 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms

i(∞) = V_s/R = 15/22 = 0.6818 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.6818·(1 − e^−2/1.5) = 0.5021 A

答案

i = 0.5021 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 1.497 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 12·1/(4.7 + 1) = 2.105 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·220 = 220 ms

放电

v_C(t) = 2.105·e^−75/220 = 1.497 V

i₂ = v_C/R₂ = 1.497/1 = 1.497 mA

答案

i₂ = 1.497 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

+ 输入端的电压

同相增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th