电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 6 VI_s = 4 AR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 24 VI_s = 2 AV₂ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 3 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 36 VV₂ = 36 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 4 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VI_s = 1.5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 10 VI_s = 1 AV₂ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 15 VI_s = 1.5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 1.5 VR₁ = 4.7 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.6 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 10 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 10 kΩV_in = 0.6 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 10 ms 时的电流 i。

i(0) = 0.5 AR = 20 ΩL = 150 mHt = 10 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 7.4 V？求 t。

V_s = 9 VR = 2.2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.942 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω

R_eq = R₁ + 4.615 = 6 + 4.615 = 10.62 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10.62 = 0.942 A

答案

I_R1 = 0.942 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 16.89 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 5 Ω

R₃ + 5 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 1.892 Ω

R_eq = R₁ + 1.892 = 15 + 1.892 = 16.89 Ω

答案

R_eq = 16.89 Ω

3.节点分析

答案: I_R3 = −2.071 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 6)/6 + (V_A − V_B)/3 = 0

0.6667·V_A − 0.3333·V_B = 1

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/3 = 4

−0.3333·V_A + 0.4583·V_B = 4

求解

Δ = (0.6667)(0.4583) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.1944

V_A = Δ₁/Δ = 1.792/0.1944 = 9.214 V

V_B = Δ₂/Δ = 3/0.1944 = 15.43 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (9.214 − 15.43)/3 = −2.071 A

4.节点分析

答案: V_A = 7.167 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V, V₂ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/3 + (V_A − 24)/5 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.7833·V_A − 0.25·V_B = 4.8

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − 10)/5 = (−2)

−0.25·V_A + 0.55·V_B = 0

求解

Δ = (0.7833)(0.55) − (−0.25)(−0.25) = 0.3683

V_A = Δ₁/Δ = 2.64/0.3683 = 7.167 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.2/0.3683 = 3.258 V

答案

V_A = 7.167 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.8382 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 12

11·I₁ − 3·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 3(I₂ − I₁) = (−9)

−3·I₁ + 7·I₂ = −9

求解

Δ = (11)(7) − (−3)(−3) = 68

I₁ = Δ₁/Δ = 57/68 = 0.8382 A

I₂ = Δ₂/Δ = −63/68 = −0.9265 A

答案

I₁ = 0.8382 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 0.1325 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 36

23·I₁ − 15·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 34·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−36)

−4·I₂ + 7·I₃ = −36

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 3531

I₁ = Δ₁/Δ = 5832/3531 = 1.652 A

I₂ = Δ₂/Δ = 468/3531 = 0.1325 A

I₃ = Δ₃/Δ = −17892/3531 = −5.067 A

答案

I₂ = 0.1325 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = −0.3803 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 20+5 = 25 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 10·25/(10+25) = 7.143 Ω

V_A = 6·7.143/(3+7.143) = 4.225 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.225·5/25 = 0.8451 V

I_R1′ = (V_A − V₁)/R₁ = (4.225 − 6)/3 = −0.5915 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 5 ∥ 22.31 = 4.085 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·4.085 = 6.127 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 6.127·2.308/22.31 = 0.6338 V

I_R1″ = (V_A − V₁)/R₁ = (0.6338 − 0)/3 = 0.2113 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = (−0.5915) + 0.2113 = −0.3803 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V_R3 = −7.097 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 15 ∥ 18 = 8.182 Ω

V_A = 10·8.182/(20+8.182) = 2.903 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2.903·3/18 = 0.4839 V

V_R3′ = 0 − V_A = 0 − 2.903 = −2.903 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 8.571 Ω，所以左侧路径为 R₂+8.571 = 23.57 Ω

R_eq = R₄ ∥ 23.57 = 2.661 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·2.661 = 2.661 V

V_A = V_B·8.571/23.57 = 0.9677 V

V_R3″ = 0 − V_A = 0 − 0.9677 = −0.9677 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 20·15/(20+15) = 8.571 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 10·23.57/26.57 = 8.871 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 8.871·8.571/23.57 = 3.226 V

V_R3‴ = 0 − V_A = 0 − 3.226 = −3.226 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = (−2.903) + (−0.9677) + (−3.226) = −7.097 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 9.286 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 5 = 9.286 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.601 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 25·30/(25+30) = 13.64 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 13.64 + 4 = 17.64 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8.182 + 1.5·13.64 = 28.64 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 28.64 + 1.5·4 = 34.64 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 34.64/(17.64 + 4) = 1.601 A

11.运放电路

答案: V_out = 4.691 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 1.5 V

I = V₋/R₁ = 1.5/4.7 = 0.3191 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 1.5 + 0.3191·10 = 4.691 V

答案

V_out = 4.691 V

12.运放电路

答案: V_out = −0.8727 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/10 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 10/22 = 1.455

逐级计算

V₁ = −1·0.6 = −0.6 V

V_out = 1.455·(−0.6) = −0.8727 V

答案

V_out = −0.8727 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1318 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms

电流的衰减

i(t) = 0.5·e^−10/7.5 = 0.1318 A

答案

i = 0.1318 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 66.52 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 33 µF = 72.6 ms

v_C(t) = 9 + (5 − 9)·e^−t/τ

求解时间

7.4 = 9 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7.4 − 9)/(5 − 9) = 0.4

t = τ·ln((5 − 9)/(7.4 − 9)) = 72.6·ln(2.5) = 66.52 ms

答案

t = 66.52 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th