电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 36 VI_s = 5 AV₂ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 6 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 24 VV₂ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 Ω

V_R2 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 18 VV₂ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 12 Ω

V_R1 = V

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 12 V、I_s = 1 mA 时，I = 12.4 mA；V_s = 5 V、I_s = 8 mA 时，I = 8.2 mA。求 V_s = 8 V、I_s = 10 mA 时的负载电流 I。

12 V, 1 mA → 12.4 mA5 V, 8 mA → 8.2 mAV_s = 8 V, I_s = 10 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 36 VI_s = 5 AV₂ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 5 VI_s = 1.5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.6 VR₁ = 1 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。求总电压增益 A_v = V_out/V_in。

R₁ = 4.7 kΩR_f1 = 4.7 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 47 kΩ

A_v =

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 24 VR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 6.75 V 时它必须触发，恰好在开始后 100 ms。已知 R = 22 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 9 VV_th = 6.75 VT = 100 msR = 22 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 11.61 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 10 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3.611 Ω

R_eq = R₁ + 3.611 = 8 + 3.611 = 11.61 Ω

答案

R_eq = 11.61 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 10.47 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 4 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 3.81 Ω

R₃ + 3.81 = 33.81 Ω

R₂ ∥ 33.81 = 6.469 Ω

R_eq = R₁ + 6.469 = 4 + 6.469 = 10.47 Ω

答案

R_eq = 10.47 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 5.4 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/5 + (V_A − 12)/4 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.575·V_A − 0.125·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/8 = 1.5

−0.125·V_A + 0.625·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.575)(0.625) − (−0.125)(−0.125) = 0.3438

V_A = Δ₁/Δ = 2.063/0.3438 = 6 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.237/0.3438 = 3.6 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 3.6·1.5 = 5.4 W

答案

P_Is = 5.4 W

4.节点分析

答案: V_A = 30.21 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 36 V, V₂ = −18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/25 + (V_A − 36)/2 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.59·V_A − 0.05·V_B = 18

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/20 + (V_B − (−18))/2 = 5

−0.05·V_A + 0.7167·V_B = −4

求解

Δ = (0.59)(0.7167) − (−0.05)(−0.05) = 0.4203

V_A = Δ₁/Δ = 12.7/0.4203 = 30.21 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.46/0.4203 = −3.473 V

答案

V_A = 30.21 V

5.网孔分析

答案: V_R2 = 4.545 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 24

14·I₁ − 10·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−10)

−10·I₁ + 15·I₂ = −10

求解

Δ = (14)(15) − (−10)(−10) = 110

I₁ = Δ₁/Δ = 260/110 = 2.364 A

I₂ = Δ₂/Δ = 100/110 = 0.9091 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.9091 A

V_R2 = I_R2·R₂ = 0.9091·5 = 4.545 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R1 = 4.183 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 18

8·I₁ − 6·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 6(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−6·I₁ + 33·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−30)

−12·I₂ + 20·I₃ = −30

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 3408

I₁ = Δ₁/Δ = 7128/3408 = 2.092 A

I₂ = Δ₂/Δ = −720/3408 = −0.2113 A

I₃ = Δ₃/Δ = −5544/3408 = −1.627 A

答案

I_R1 = I₁ = 2.092 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 2.092·2 = 4.183 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 12 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

12·k₁ + 1·k₂ = 12.4

5·k₁ + 8·k₂ = 8.2

求常数

Δ = (12)(8) − (1)(5) = 91

k₁ = Δ₁/Δ = 91/91 = 1

k₂ = Δ₂/Δ = 36.4/91 = 0.4

k₁ = 1 mA/V, k₂ = 0.4

预测新的电流

I = 1·8 + 0.4·10 = 12 mA

答案

I = 12 mA

8.叠加定理

答案: V_R2 = 10.17 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 35 = 12.73 Ω

V_A = 36·12.73/(4+12.73) = 27.39 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 27.39·5/35 = 3.913 V

V_R2′ = V_B − V_A = 3.913 − 27.39 = −23.48 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.333 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.333 = 33.33 Ω

R_eq = R₄ ∥ 33.33 = 4.348 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·4.348 = 21.74 V

V_A = V_B·3.333/33.33 = 2.174 V

V_R2″ = V_B − V_A = 21.74 − 2.174 = 19.57 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 18·33.33/38.33 = 15.65 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 15.65·3.333/33.33 = 1.565 V

V_R2‴ = V_B − V_A = 15.65 − 1.565 = 14.09 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = (−23.48) + 19.57 + 14.09 = 10.17 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.3064 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.077 + 15 = 18.08 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·8/(5+8) = 5.538 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 5.538/18.08 = 0.3064 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.128 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 25·4/(25+4) = 3.448 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.448 + 25 = 28.45 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 0.6897 + 1.5·3.448 = 5.862 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 5.862 + 1.5·25 = 43.36 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 43.36/(28.45 + 10) = 1.128 A

11.运放电路

答案: V_out = 3.42 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.6 V

I = V₋/R₁ = 0.6/1 = 0.6 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.6 + 0.6·4.7 = 3.42 V

答案

V_out = 3.42 V

12.运放电路

答案: A_v = −2

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −4.7/4.7 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 47/47 = 2

总增益

A_v = A₁·A₂ = −1·2 = −2

答案

A_v = −2

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 0.2548 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0.22 ms

i(∞) = V_s/R = 24/100 = 0.24 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 24·e^−1/0.22 = 0.2548 V

答案

v_L = 0.2548 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 3.279 µF

所需的时间常数

6.75 = 9·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(9/(9 − 6.75))

τ = 100/1.386 = 72.13 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 72.13/22 = 3.279 µF

答案

C = 3.279 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

总增益

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th