电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

I_s = 2.5 AV_s = 8 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 15 VI_s = 1.5 AV₂ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 5 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 18 VV₂ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 Ω

V_R2 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 5 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 10 VI_s = 4 AV₂ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VI_s = 1.5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 8。

R₁ = 22 kΩA_v = 8

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 0.9 VV₂ = 1.5 VR₁ = 22 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 2 AR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_R = V

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 15 ms 时的电感电流 i。

V_s = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 47 ΩL = 220 mHt = 15 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.75 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_eq = R₁ + 2 = 6 + 2 = 8 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/8 = 1.125 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1.125·6 = 2.25 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.25/3 = 0.75 A

答案

I_R2 = 0.75 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.062 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 8 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 4.105 Ω

R₃ + 4.105 = 12.11 Ω

R₂ ∥ 12.11 = 5.476 Ω

R_eq = R₁ + 5.476 = 10 + 5.476 = 15.48 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15.48 = 1.938 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.938·10 = 10.62 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.62/10 = 1.062 A

答案

I_R2 = 1.062 A

3.节点分析

答案: V_B = 7.667 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 8

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/6 + (V_A + 8)/3 = 2.5

V_A = (2.5 − 8/3)/(1/6 + 1/3) = −0.3333 V

V_B = −0.3333 + 8 = 7.667 V

答案

V_B = 7.667 V

4.节点分析

答案: V_A = 6.439 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V, V₂ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 15)/12 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.375·V_A − 0.125·V_B = 1.25

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/8 + (V_B − 18)/12 = 1.5

−0.125·V_A + 0.4083·V_B = 3

求解

Δ = (0.375)(0.4083) − (−0.125)(−0.125) = 0.1375

V_A = Δ₁/Δ = 0.8854/0.1375 = 6.439 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.281/0.1375 = 9.318 V

答案

V_A = 6.439 V

5.网孔分析

答案: V_R2 = −2.667 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 18

4·I₁ − 2·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−12)

−2·I₁ + 10·I₂ = −12

求解

Δ = (4)(10) − (−2)(−2) = 36

I₁ = Δ₁/Δ = 156/36 = 4.333 A

I₂ = Δ₂/Δ = −12/36 = −0.3333 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.3333 A

V_R2 = I_R2·R₂ = −0.3333·8 = −2.667 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = 0.3879 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

25·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 30

35·I₁ − 10·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 23·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

12·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−5)

−8·I₂ + 20·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 11860

I₁ = Δ₁/Δ = 11480/11860 = 0.968 A

I₂ = Δ₂/Δ = 4600/11860 = 0.3879 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1125/11860 = −0.09486 A

答案

I₂ = 0.3879 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = 1.058 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 12+6 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 10·18/(10+18) = 6.429 Ω

V_A = 15·6.429/(12+6.429) = 5.233 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 5.233·6/18 = 1.744 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (5.233 − 1.744)/12 = 0.2907 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 6 ∥ 17.45 = 4.465 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−3)·4.465 = −13.4 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −13.4·5.455/17.45 = −4.186 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (−4.186 − −13.4)/12 = 0.7674 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0.2907 + 0.7674 = 1.058 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V_R3 = −8.116 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 12 ∥ 33 = 8.8 Ω

V_A = 10·8.8/(5+8.8) = 6.377 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.377·30/33 = 5.797 V

V_R3′ = V_A − 0 = 6.377 − 0 = 6.377 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.529 = 6.529 Ω

R_eq = R₄ ∥ 6.529 = 5.362 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−4)·5.362 = −21.45 V

V_A = V_B·3.529/6.529 = −11.59 V

V_R3″ = V_A − 0 = −11.59 − 0 = −11.59 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−30)·6.529/36.53 = −5.362 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −5.362·3.529/6.529 = −2.899 V

V_R3‴ = V_A − 0 = −2.899 − 0 = −2.899 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = 6.377 + (−11.59) + (−2.899) = −8.116 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 7.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·10/(6+10) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 3 = 6.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·10/(6+10) = 7.5 V

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 14.65 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.077 + 3 = 6.077 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5.538 + 1.5·3.077 = 10.15 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10.15 + 1.5·3 = 14.65 V

11.运放电路

答案: R_f = 154 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (8 − 1)·22 = 154 kΩ

答案

R_f = 154 kΩ

12.运放电路

答案: I_f = 0.3601 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.9/22 = 0.04091 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.5/4.7 = 0.3191 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.3601 mA

答案

I_f = 0.3601 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 7.358 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e^−1/1 = 0.7358 A

v_R = R·i = 10·0.7358 = 7.358 V

答案

v_R = 7.358 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.715 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 24/(5 + 47) = 0.4615 A

i(∞) = 24/5 = 4.8 A

τ = L/R = 220/5 = 44 ms

i(t) = 4.8 + (0.4615 − 4.8)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(15) = 4.8 + (−4.338)·e^−15/44 = 1.715 A

答案

i = 1.715 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

构成超节点

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

同相放大器的增益

答案

输入电流

答案

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th