电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 30 VI_s = 5 AV₂ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 8 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 吸收的功率 P_R2。

V₁ = 30 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

P_R2 = W

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 9 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 5 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 18 VI_s = 1.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 5 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.7 VV₂ = −1.3 VR₁ = R₃ = 4.7 kΩR₂ = R₄ = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 0.9 VV₂ = 1 VR₁ = 22 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 100 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感两端的电压 v_L。

V_s = 5 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms

v_L = V

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 13.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 500 ms。已知 C = 22 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 15 VV_th = 13.5 VT = 500 msC = 22 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 2.106 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 5 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 4·7/(4+7) = 2.545 Ω

R_eq = R₁ + 2.545 = 6 + 2.545 = 8.545 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8.545 = 2.106 A

答案

I_R1 = 2.106 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 26.87 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 3 + 25 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 3.5 Ω

R₃ + 3.5 = 28.5 Ω

R₂ ∥ 28.5 = 1.869 Ω

R_eq = R₁ + 1.869 = 25 + 1.869 = 26.87 Ω

答案

R_eq = 26.87 Ω

3.节点分析

答案: I_R1 = −0.7143 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/20 + (V_A − 10)/6 + (V_A − V_B)/10 = 0

0.3167·V_A − 0.1·V_B = 1.667

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/8 + (V_B − V_A)/10 = 5

−0.1·V_A + 0.225·V_B = 5

求解

Δ = (0.3167)(0.225) − (−0.1)(−0.1) = 0.06125

V_A = Δ₁/Δ = 0.875/0.06125 = 14.29 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.75/0.06125 = 28.57 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (10 − 14.29)/6 = −0.7143 A

4.节点分析

答案: V_B = 2.877 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 30 V, V₂ = −24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/15 + (V_A − 30)/2 + (V_A − V_B)/2 = 0

1.067·V_A − 0.5·V_B = 15

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/2 + (V_B − (−24))/25 = (−5)

−0.5·V_A + 0.6067·V_B = −5.96

求解

Δ = (1.067)(0.6067) − (−0.5)(−0.5) = 0.3971

V_A = Δ₁/Δ = 6.12/0.3971 = 15.41 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.143/0.3971 = 2.877 V

答案

V_B = 2.877 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.9143 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 24

17·I₁ − 12·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−30)

−12·I₁ + 27·I₂ = −30

求解

Δ = (17)(27) − (−12)(−12) = 315

I₁ = Δ₁/Δ = 288/315 = 0.9143 A

I₂ = Δ₂/Δ = −222/315 = −0.7048 A

答案

I₁ = 0.9143 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −0.6636 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 24

34·I₁ − 30·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

3·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 41·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−24)

−8·I₂ + 23·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 9186

I₁ = Δ₁/Δ = 15336/9186 = 1.669 A

I₂ = Δ₂/Δ = 10032/9186 = 1.092 A

I₃ = Δ₃/Δ = −6096/9186 = −0.6636 A

答案

I₃ = −0.6636 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R2 = 36.51 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 15+20 = 35 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 5·35/(5+35) = 4.375 Ω

V_A = 30·4.375/(12+4.375) = 8.015 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 8.015·20/35 = 4.58 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (8.015 − 0)/5 = 1.603 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 20 ∥ 18.53 = 9.618 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·9.618 = 28.85 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 28.85·3.529/18.53 = 5.496 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (5.496 − 0)/5 = 1.099 A

把电流的各个贡献相加

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ = 1.603 + 1.099 = 2.702 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R2 = I_R2²·R₂ = 2.702²·5 = 36.51 W

答案

P_R2 = 36.51 W

把各单独情况下的功率相加会得到 18.89 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: V₂ = 10.8 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 14 = 5.091 Ω

V_A = 9·5.091/(5+5.091) = 4.541 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.541·6/14 = 1.946 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 3.077 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.077 = 11.08 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11.08 = 3.892 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −6·3.892 = −23.35 V

V_A = V_B·3.077/11.08 = −6.486 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3.077 Ω

V_A‴ = V₂·3.077/(6 + 8 + 3.077) = 0.1802·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 4.541 + (−6.486) + 0.1802·V₂ = 0

V₂ = 1.946/0.1802 = 10.8 V

答案

V₂ = 10.8 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.163 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 20 = 23 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·4/(12+4) = 3.75 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 3.75/23 = 0.163 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 11.7 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6.667 + 5 = 11.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8 + 1.5·6.667 = 18 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 18 + 1.5·5 = 25.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 25.5/(11.67 + 5) = 1.53 A

P_L = I_L²·R_L = 1.53²·5 = 11.7 W

11.运放电路

答案: V_out = 4 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1.3·47/(4.7 + 47) = −1.182 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(−1.7 − −1.182)/4.7 = (−1.182 − V_out)/47

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (47/4.7)·(−1.3 − (−1.7)) = 4 V

答案

V_out = 4 V

12.运放电路

答案: I_f = 0.05091 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.9/22 = 0.04091 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1/100 = 0.01 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.05091 mA

答案

I_f = 0.05091 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_L = 2.533 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1.471 ms

i(∞) = V_s/R = 5/68 = 0.07353 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/1.471 = 2.533 V

答案

v_L = 2.533 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 9.87 kΩ

所需的时间常数

13.5 = 15·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(15/(15 − 13.5))

τ = 500/2.303 = 217.1 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 217.1/22 = 9.87 kΩ

答案

R = 9.87 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

电感电压

答案

所需的时间常数

电阻

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th