电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 10 VI_s = 5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 A，所以它使 V_A − V_B = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

V₁ = 15 VI_s = 1 AV_s = 3 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 Ω

I_x = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 Ω

I_R1 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 15 VV₂ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 10 Ω

V_R2 = V

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 吸收的功率 P_R4。

V₁ = 15 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

P_R4 = W

8.叠加定理困难

一个线性电阻电路含有三个独立电源：V₁、V₂ 和 I_s。流过负载的电流 I 测量了三次。所有电源取正常值时，I = 15.5 mA。V₁ 加倍而另两个不变时，I = 18.5 mA。I_s 方向反转而另两个不变时，I = −0.5 mA。求将 V₂ 置零、V₁ 和 I_s 取正常值时的负载电流 I。

正常值: I = 15.5 mA2·V₁: I = 18.5 mA−I_s: I = −0.5 mA

I = mA

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 10 VI_s = 4 AR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求反相输入端的电压 V₋。

V₁ = −2.4 VV₂ = −0.8 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 100 kΩ

V₋ = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −1.9 V 时，电容未充电。求 t = 200 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −1.9 VR = 22 kΩC = 4.7 µFV_sat = ±14 Vt = 200 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 24 VR = 5 ΩL = 150 mH

W(∞) = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。求 t = 120 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 6 Vt = 120 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.6402 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 8 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 2·28/(2+28) = 1.867 Ω

R_eq = R₁ + 1.867 = 20 + 1.867 = 21.87 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/21.87 = 0.686 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.686·20 = 1.28 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.28/2 = 0.6402 A

答案

I_R2 = 0.6402 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 39.28 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 10.75 Ω

R₃ + 10.75 = 14.75 Ω

R₂ ∥ 14.75 = 9.279 Ω

R_eq = R₁ + 9.279 = 30 + 9.279 = 39.28 Ω

答案

R_eq = 39.28 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 179.5 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 10)/2 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.8833·V_A − 0.05·V_B = 5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/20 = 5

−0.05·V_A + 0.15·V_B = 5

求解

Δ = (0.8833)(0.15) − (−0.05)(−0.05) = 0.13

V_A = Δ₁/Δ = 1/0.13 = 7.692 V

V_B = Δ₂/Δ = 4.667/0.13 = 35.9 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 35.9·5 = 179.5 W

答案

P_Is = 179.5 W

4.节点分析

答案: I_x = −0.4364 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A − 3

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 15)/5 + V_A/10 + (V_A − 3)/15 = 1

V_A·(1/5 + 1/10 + 1/15) = 1 + 15/5 + 3/15 = 4.2

V_A = 4.2/0.3667 = 11.45 V

V_B = 8.455 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

I_R1 = (15 − 11.45)/5 = 0.7091 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = 0.7091 − 11.45/10 = −0.4364 A

答案

I_x = −0.4364 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I_R1 = 0.09091 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 12

23·I₁ − 3·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 3(I₂ − I₁) = (−30)

−3·I₁ + 9·I₂ = −30

求解

Δ = (23)(9) − (−3)(−3) = 198

I₁ = Δ₁/Δ = 18/198 = 0.09091 A

I₂ = Δ₂/Δ = −654/198 = −3.303 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.09091 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R2 = 2.239 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 15

7·I₁ − 4·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 4(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−4·I₁ + 19·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

4·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−6)

−10·I₂ + 14·I₃ = −6

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 938

I₁ = Δ₁/Δ = 2250/938 = 2.399 A

I₂ = Δ₂/Δ = 420/938 = 0.4478 A

I₃ = Δ₃/Δ = −102/938 = −0.1087 A

答案

I_R2 = I₂ = 0.4478 A

V_R2 = I_R2·R₂ = 0.4478·5 = 2.239 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R4 = 20.44 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+3 = 13 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·13/(3+13) = 2.438 Ω

V_A = 15·2.438/(12+2.438) = 2.532 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.532·3/13 = 0.5844 V

I_R4′ = (V_B − 0)/R₄ = (0.5844 − 0)/3 = 0.1948 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 3 ∥ 12.4 = 2.416 Ω

V_B = I_s·R_eq = 3·2.416 = 7.247 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 7.247·2.4/12.4 = 1.403 V

I_R4″ = (V_B − 0)/R₄ = (7.247 − 0)/3 = 2.416 A

把电流的各个贡献相加

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ = 0.1948 + 2.416 = 2.61 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R4 = I_R4²·R₄ = 2.61²·3 = 20.44 W

答案

P_R4 = 20.44 W

把各单独情况下的功率相加会得到 17.62 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: I = 11 mA

用各贡献写出测量值

每个贡献与其自身的电源成正比。

I₁ + I₂ + I₃ = 15.5

2·I₁ + I₂ + I₃ = 18.5

I₁ + I₂ − I₃ = −0.5

求各贡献

I₁ = 18.5 − 15.5 = 3 mA

I₃ = (15.5 − (−0.5))/2 = 8 mA

I₂ = 15.5 − 3 − 8 = 4.5 mA

将 V₂ 置零

I = I₁ + I₃ = 3 + 8 = 11 mA

答案

I = 11 mA

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 2.727 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 4 = 7.333 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·20/(4+20) = 20 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 20/7.333 = 2.727 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 3 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·10/(2+10) = 1.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.667 + 8 = 9.667 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8.333 + 4·1.667 = 15 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 15 + 4·8 = 47 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 47/(9.667 + 6) = 3 A

11.运放电路

答案: V₋ = −0.5442 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −0.8·100/(47 + 100) = −0.5442 V

V₋ = V₊

答案

V₋ = −0.5442 V

12.运放电路

答案: V_out = 3.675 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 22 kΩ · 4.7 µF = 103.4 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−1.9)/103.4 = 0.01838 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−1.9)·200/103.4 = 3.675 V

答案

V_out = 3.675 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 1728 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 5 Ω = 30 ms

i(∞) = V_s/R = 24/5 = 4.8 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·150·4.8² = 1728 mJ

答案

W(∞) = 1728 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 7.352 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 12 + (6 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(120) = 12 + (−6)·e^−120/470 = 7.352 V

答案

v_C = 7.352 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

用各贡献写出测量值

求各贡献

将 V₂ 置零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

输入端的电压

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th