电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 9 VI_s = 1.5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 19 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 20 ΩV_A = 19 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 10 V、I_s = 10 mA 时，I = 4.5 mA；V_s = 6 V、I_s = 8 mA 时，I = 1.2 mA。求 V_s = 15 V、I_s = 10 mA 时的负载电流 I。

10 V, 10 mA → 4.5 mA6 V, 8 mA → 1.2 mAV_s = 15 V, I_s = 10 mA

I = mA

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 5 VI_s = 3 AR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 6 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 25 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 5 VI_s = 0.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 25 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 25。

R₁ = 1 kΩA_v = 25

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = −0.1 VV₂ = 0.9 VR₁ = 100 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 47 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时的电流 i。

V_s = 10 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 5 ms 时的电感电流 i。

V_s = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.2295 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 15·35/(15+35) = 10.5 Ω

R_eq = R₁ + 10.5 = 20 + 10.5 = 30.5 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/30.5 = 0.3279 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.3279·20 = 3.443 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.443/15 = 0.2295 A

答案

I_R2 = 0.2295 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.538 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 20 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 2.763 Ω

R₃ + 2.763 = 12.76 Ω

R₂ ∥ 12.76 = 5.607 Ω

R_eq = R₁ + 5.607 = 10 + 5.607 = 15.61 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/15.61 = 1.538 A

答案

I_R1 = 1.538 A

3.节点分析

答案: I_R3 = 1.135 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 9)/15 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.8167·V_A − 0.25·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/4 = (−1.5)

−0.25·V_A + 0.3167·V_B = −1.5

求解

Δ = (0.8167)(0.3167) − (−0.25)(−0.25) = 0.1961

V_A = Δ₁/Δ = −0.185/0.1961 = −0.9433 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.075/0.1961 = −5.482 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (−0.9433 − −5.482)/4 = 1.135 A

4.节点分析

答案: I_s = 6.367 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(19 − 24)/5 + 19/6 = (V_B − 19)/30

2.167 = (V_B − 19)/30 → V_B = 84 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (84 − 19)/30 + 84/20 = 6.367 A

答案

I_s = 6.367 A

5.网孔分析

答案: I₂ = 0.2638 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 24

23·I₁ − 15·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

20·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−9)

−15·I₁ + 35·I₂ = −9

求解

Δ = (23)(35) − (−15)(−15) = 580

I₁ = Δ₁/Δ = 705/580 = 1.216 A

I₂ = Δ₂/Δ = 153/580 = 0.2638 A

答案

I₂ = 0.2638 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = −0.09709 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 30

18·I₁ − 3·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 28·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−9)

−10·I₂ + 13·I₃ = −9

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 4635

I₁ = Δ₁/Δ = 7650/4635 = 1.65 A

I₂ = Δ₂/Δ = −450/4635 = −0.09709 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3555/4635 = −0.767 A

答案

I₂ = −0.09709 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 10.5 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

10·k₁ + 10·k₂ = 4.5

6·k₁ + 8·k₂ = 1.2

求常数

Δ = (10)(8) − (10)(6) = 20

k₁ = Δ₁/Δ = 24/20 = 1.2

k₂ = Δ₂/Δ = −15/20 = −0.75

k₁ = 1.2 mA/V, k₂ = −0.75

预测新的电流

I = 1.2·15 + (−0.75)·10 = 10.5 mA

答案

I = 10.5 mA

8.叠加定理

答案: V₂ = 14.67 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 10 = 7.143 Ω

V_A = 5·7.143/(15+7.143) = 1.613 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.613·6/10 = 0.9677 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 9.375 Ω，所以左侧路径为 R₂+9.375 = 13.38 Ω

R_eq = R₄ ∥ 13.38 = 4.142 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −3·4.142 = −12.43 V

V_A = V_B·9.375/13.38 = −8.71 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 9.375 Ω

V_A‴ = V₂·9.375/(6 + 4 + 9.375) = 0.4839·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 1.613 + (−8.71) + 0.4839·V₂ = 0

V₂ = 7.097/0.4839 = 14.67 V

答案

V₂ = 14.67 V

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 1.059 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1.765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.765 + 10 = 11.76 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·2/(15+2) = 1.059 V

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 2.301 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 20 = 24.44 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2.778 + 0.5·4.444 = 5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 5 + 0.5·20 = 15 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 15/(24.44 + 25) = 0.3034 A

P_L = I_L²·R_L = 0.3034²·25 = 2.301 W

11.运放电路

答案: R_f = 24 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (25 − 1)·1 = 24 kΩ

答案

R_f = 24 kΩ

12.运放电路

答案: I_f = 0.1905 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.1/100 = −0.001 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.9/4.7 = 0.1915 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.1905 mA

答案

I_f = 0.1905 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.2448 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3.03 ms

i(∞) = V_s/R = 10/33 = 0.303 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.303·(1 − e^−5/3.03) = 0.2448 A

答案

i = 0.2448 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.569 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 12/(5 + 5) = 1.2 A

i(∞) = 12/5 = 2.4 A

τ = L/R = 68/5 = 13.6 ms

i(t) = 2.4 + (1.2 − 2.4)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(5) = 2.4 + (−1.2)·e^−5/13.6 = 1.569 A

答案

i = 1.569 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th