电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩV₂ = 18 VR₂ = 3 ΩV₃ = 12 VR₃ = 3 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 5 VI_s = 6 AV₂ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 10 VV₂ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 Ω

V_R3 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 5 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 10 V、I_s = 1 mA 时，I = 2.75 mA；V_s = 4 V、I_s = 10 mA 时，I = 8.3 mA。求 V_s = 5 V、I_s = 2 mA 时的负载电流 I。

10 V, 1 mA → 2.75 mA4 V, 10 mA → 8.3 mAV_s = 5 V, I_s = 2 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₄ 吸收的功率 P_R4。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AV₂ = 36 VR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

P_R4 = W

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 9 VI_s = 3 AR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 20。

R₁ = 10 kΩA_v = 20

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.3 VV₂ = −1.8 VR₁ = 2 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 250 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 33 µFt = 250 ms

v_C = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。求 t = 250 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR = 3.3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 12 Vt = 250 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 17.4 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 4·6/(4+6) = 2.4 Ω

R_eq = R₁ + 2.4 = 15 + 2.4 = 17.4 Ω

答案

R_eq = 17.4 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 13.91 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 3 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 1.765 Ω

R₃ + 1.765 = 9.765 Ω

R₂ ∥ 9.765 = 5.914 Ω

R_eq = R₁ + 5.914 = 8 + 5.914 = 13.91 Ω

答案

R_eq = 13.91 Ω

3.节点分析

答案: I₁ = 0.6977 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 30)/20 + (V_A − 18)/3 + (V_A − 12)/3 = 0

求 V_A

V_A = (30/20 + 18/3 + 12/3) / (1/20 + 1/3 + 1/3) = 11.5/0.7167 = 16.05 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = (30 − V_A)/R₁ = (30 − 16.05)/20 = 0.6977 A

答案

I₁ = 0.6977 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R1 = 0.3604 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 5 V, V₂ = −24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/5 + (V_A − 5)/10 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.3667·V_A − 0.06667·V_B = 0.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/15 + (V_B − (−24))/4 = 6

−0.06667·V_A + 0.5167·V_B = 0

求解

Δ = (0.3667)(0.5167) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.185

V_A = Δ₁/Δ = 0.2583/0.185 = 1.396 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.03333/0.185 = 0.1802 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (5 − 1.396)/10 = 0.3604 A

5.网孔分析

答案: V_R3 = 9.111 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 10

18·I₁ − 3·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

5·I₂ + 3(I₂ − I₁) = (−24)

−3·I₁ + 8·I₂ = −24

求解

Δ = (18)(8) − (−3)(−3) = 135

I₁ = Δ₁/Δ = 8/135 = 0.05926 A

I₂ = Δ₂/Δ = −402/135 = −2.978 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 3.037 A

V_R3 = I_R3·R₃ = 3.037·3 = 9.111 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.3934 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 30(I₁ − I₂) = 9

36·I₁ − 30·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

12·I₂ + 30(I₂ − I₁) + 5(I₂ − I₃) = 0

−30·I₁ + 47·I₂ − 5·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 5(I₃ − I₂) = (−12)

−5·I₂ + 15·I₃ = −12

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 10980

I₁ = Δ₁/Δ = 4320/10980 = 0.3934 A

I₂ = Δ₂/Δ = 1890/10980 = 0.1721 A

I₃ = Δ₃/Δ = −8154/10980 = −0.7426 A

答案

I₁ = 0.3934 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 2.5 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

10·k₁ + 1·k₂ = 2.75

4·k₁ + 10·k₂ = 8.3

求常数

Δ = (10)(10) − (1)(4) = 96

k₁ = Δ₁/Δ = 19.2/96 = 0.2

k₂ = Δ₂/Δ = 72/96 = 0.75

k₁ = 0.2 mA/V, k₂ = 0.75

预测新的电流

I = 0.2·5 + 0.75·2 = 2.5 mA

答案

I = 2.5 mA

8.叠加定理

答案: P_R4 = 2.683 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 2 ∥ 27 = 1.862 Ω

V_A = 10·1.862/(5+1.862) = 2.714 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2.714·2/27 = 0.201 V

I_R4′ = (V_B − V₂)/R₄ = (0.201 − 0)/2 = 0.1005 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.429 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.429 = 26.43 Ω

R_eq = R₄ ∥ 26.43 = 1.859 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·1.859 = 4.648 V

V_A = V_B·1.429/26.43 = 0.2513 V

I_R4″ = (V_B − V₂)/R₄ = (4.648 − 0)/2 = 2.324 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5·2/(5+2) = 1.429 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 36·26.43/28.43 = 33.47 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 33.47·1.429/26.43 = 1.809 V

I_R4‴ = (V_B − V₂)/R₄ = (33.47 − 36)/2 = −1.266 A

把电流的各个贡献相加

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴ = 0.1005 + 2.324 + (−1.266) = 1.158 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R4 = I_R4²·R₄ = 1.158²·2 = 2.683 W

答案

P_R4 = 2.683 W

把各单独情况下的功率相加会得到 14.03 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.9505 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·8/(6+8) = 3.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.429 + 5 = 8.429 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·8/(6+8) = 13.71 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 13.71/(8.429 + 6) = 0.9505 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 3.18 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·5/(6+5) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 20 = 22.73 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.091 + 3·2.727 = 12.27 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12.27 + 3·20 = 72.27 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 72.27/22.73 = 3.18 A

11.运放电路

答案: R_f = 190 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (20 − 1)·10 = 190 kΩ

答案

R_f = 190 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 4.143 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = −0.3/2 = −0.15 mA

I₂ = V₂/R₂ = −1.8/47 = −0.0383 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0.1883 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −22·(−0.1883) = 4.143 V

答案

V_out = 4.143 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 2.055 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·6.8/(10 + 6.8) = 4.048 kΩ

v_C(∞) = 6·6.8/(10 + 6.8) = 2.429 V

时间常数

τ = R_th·C = 4.048·33 = 133.6 ms

充电曲线

v_C(t) = 2.429·(1 − e^−250/133.6) = 2.055 V

答案

v_C = 2.055 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 15.5 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 24 + (12 − 24)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(250) = 24 + (−12)·e^−250/726 = 15.5 V

答案

v_C = 15.5 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

同相放大器的增益

答案

输入电流

输出电压

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th