电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 9 VI_s = 1.5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 0.5 AV₂ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 2 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 10 VV₂ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 12 Ω

I₂ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VI_s = 5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 36 VI_s = 6 AR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源；其输出饱和电压为 ±14 V。同相放大器由正弦波驱动。求输出不削波时的最大输入幅值 V_in,max（峰值）。

R₁ = 1 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±14 V

V_in,max = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.2 VV₂ = 1.8 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求 t = 40 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 47 µFt = 40 ms

v_C = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 18 V，极性如图所示。求 t = 30 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 12 VR = 4.7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 18 Vt = 30 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.7132 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 2·21/(2+21) = 1.826 Ω

R_eq = R₁ + 1.826 = 15 + 1.826 = 16.83 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/16.83 = 0.7132 A

答案

I_R1 = 0.7132 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.794 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 11.98 Ω

R₃ + 11.98 = 41.98 Ω

R₂ ∥ 41.98 = 6.719 Ω

R_eq = R₁ + 6.719 = 10 + 6.719 = 16.72 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/16.72 = 1.794 A

答案

I_R1 = 1.794 A

3.节点分析

答案: V_B = 7.105 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/12 + (V_A − 9)/5 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.45·V_A − 0.1667·V_B = 1.8

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/6 = 1.5

−0.1667·V_A + 0.3667·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.45)(0.3667) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.1372

V_A = Δ₁/Δ = 0.91/0.1372 = 6.632 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.975/0.1372 = 7.105 V

答案

V_B = 7.105 V

4.节点分析

答案: V_A = 7.616 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V, V₂ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/8 + (V_A − 10)/6 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.4583·V_A − 0.1667·V_B = 1.667

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/6 + (V_B − 24)/2 = (−0.5)

−0.1667·V_A + 1.167·V_B = 11.5

求解

Δ = (0.4583)(1.167) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.5069

V_A = Δ₁/Δ = 3.861/0.5069 = 7.616 V

V_B = Δ₂/Δ = 5.549/0.5069 = 10.95 V

答案

V_A = 7.616 V

5.网孔分析

答案: I₂ = −1.429 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 10

6·I₁ − 4·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−30)

−4·I₁ + 19·I₂ = −30

求解

Δ = (6)(19) − (−4)(−4) = 98

I₁ = Δ₁/Δ = 70/98 = 0.7143 A

I₂ = Δ₂/Δ = −140/98 = −1.429 A

答案

I₂ = −1.429 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₂ = −0.0618 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 9

19·I₁ − 15·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

20·I₂ + 15(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−15·I₁ + 47·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−24)

−12·I₂ + 32·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 18640

I₁ = Δ₁/Δ = 7920/18640 = 0.4249 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1152/18640 = −0.0618 A

I₃ = Δ₃/Δ = −14412/18640 = −0.7732 A

答案

I₂ = −0.0618 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R2 = −3.196 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 8+10 = 18 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·18/(2+18) = 1.8 Ω

V_A = 18·1.8/(15+1.8) = 1.929 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1.929·10/18 = 1.071 V

I_R2′ = (0 − V_A)/R₂ = (0 − 1.929)/2 = −0.9643 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1.765 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 9.765 = 4.94 Ω

V_B = I_s·R_eq = 5·4.94 = 24.7 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 24.7·1.765/9.765 = 4.464 V

I_R2″ = (0 − V_A)/R₂ = (0 − 4.464)/2 = −2.232 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″

I_R2 = (−0.9643) + (−2.232) = −3.196 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 6 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 5 ∥ 12 = 3.529 Ω

V_A = 36·3.529/(8+3.529) = 11.02 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 11.02·10/12 = 9.184 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 3.077 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.077 = 5.077 Ω

R_eq = R₄ ∥ 5.077 = 3.367 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −6·3.367 = −20.2 V

V_A = V_B·3.077/5.077 = −12.24 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3.077 Ω

V_A‴ = V₂·3.077/(10 + 2 + 3.077) = 0.2041·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 11.02 + (−12.24) + 0.2041·V₂ = 0

V₂ = 1.224/0.2041 = 6 V

答案

V₂ = 6 V

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 7.077 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·5/(8+5) = 3.077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.077 + 4 = 7.077 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −4.419 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 20 = 24.8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 14.4 + (−5)·4.8 = −9.6 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −9.6 + (−5)·20 = −109.6 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −109.6/24.8 = −4.419 A

11.运放电路

答案: V_in,max = 1.273 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

增益

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 10/1 = 11

削波前的最大输入

V_in,max = V_sat/|A_v| = 14/11 = 1.273 V

答案

V_in,max = 1.273 V

12.运放电路

答案: V_out = −8.866 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.2/10 = 0.02 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.8/4.7 = 0.383 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.403 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −22·0.403 = −8.866 V

答案

V_out = −8.866 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 16.58 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·10/(1 + 10) = 0.9091 kΩ

v_C(∞) = 30·10/(1 + 10) = 27.27 V

时间常数

τ = R_th·C = 0.9091·47 = 42.73 ms

充电曲线

v_C(t) = 27.27·(1 − e^−40/42.73) = 16.58 V

答案

v_C = 16.58 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 16.49 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms

v_C(t) = 12 + (18 − 12)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(30) = 12 + (6)·e^−30/103.4 = 16.49 V

答案

v_C = 16.49 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

增益

削波前的最大输入

答案

输入电流

输出电压

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

充电曲线

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th