电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩV₂ = 12 VR₂ = 2 ΩV₃ = 9 VR₃ = 20 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AV_s = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 Ω

I_x = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 24 VV₂ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VV₂ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VI_s = 2.5 AV₂ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 6。

R₁ = 1 kΩA_v = 6

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.5 VV₂ = 1.7 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩR_f = 4.7 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 5 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 2.5 AR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

v_R = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 21 V？求 t。

V_s = 12 VR = 6.8 kΩC = 68 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.4004 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 20 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 20·22/(20+22) = 10.48 Ω

R_eq = R₁ + 10.48 = 12 + 10.48 = 22.48 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/22.48 = 0.4004 A

答案

I_R1 = 0.4004 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.06783 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 20 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 2.727 Ω

R₃ + 2.727 = 4.727 Ω

R₂ ∥ 4.727 = 3.824 Ω

R_eq = R₁ + 3.824 = 30 + 3.824 = 33.82 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 12/33.82 = 0.3548 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.3548·30 = 1.357 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.357/20 = 0.06783 A

答案

I_R2 = 0.06783 A

3.节点分析

答案: I₁ = 5.83 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 18)/3 + (V_A − (−12))/2 + (V_A − 9)/20 = 0

求 V_A

V_A = (18/3 + (−12)/2 + 9/20) / (1/3 + 1/2 + 1/20) = 0.45/0.8833 = 0.5094 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = (18 − V_A)/R₁ = (18 − 0.5094)/3 = 5.83 A

答案

I₁ = 5.83 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_x = 0.9923 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + 15

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + V_B/R₃ = I_s

求解

(V_A − 12)/30 + V_A/5 + (V_A + 15)/5 = 1.5

V_A·(1/30 + 1/5 + 1/5) = 1.5 + 12/30 − 15/5 = −1.1

V_A = −1.1/0.4333 = −2.538 V

V_B = 12.46 V

流过电压源的电流

仅在节点 A 列 KCL：经 R₁ 流入的电流从 R₂ 和电压源流出。

I_R1 = (12 − (−2.538))/30 = 0.4846 A

I_x = I_R1 − V_A/R₂ = 0.4846 − (−2.538)/5 = 0.9923 A

答案

I_x = 0.9923 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

5.网孔分析

答案: I_R3 = 1.582 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 24

16·I₁ − 10·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−18)

−10·I₁ + 20·I₂ = −18

求解

Δ = (16)(20) − (−10)(−10) = 220

I₁ = Δ₁/Δ = 300/220 = 1.364 A

I₂ = Δ₂/Δ = −48/220 = −0.2182 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 1.582 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.09824 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

30·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 5

50·I₁ − 20·I₂ = 5

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

6·I₂ + 20(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−20·I₁ + 34·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−18)

−8·I₂ + 33·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 39700

I₁ = Δ₁/Δ = 2410/39700 = 0.06071 A

I₂ = Δ₂/Δ = −3900/39700 = −0.09824 A

I₃ = Δ₃/Δ = −22600/39700 = −0.5693 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.09824 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = 1.457 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 20+4 = 24 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·24/(4+24) = 3.429 Ω

V_A = 24·3.429/(15+3.429) = 4.465 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.465·4/24 = 0.7442 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (24 − 4.465)/15 = 1.302 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 15·4/(15+4) = 3.158 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 23.16 = 3.411 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−5)·3.411 = −17.05 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −17.05·3.158/23.16 = −2.326 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − −2.326)/15 = 0.155 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 1.302 + 0.155 = 1.457 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R2 = 2.295 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 20 ∥ 12 = 7.5 Ω

V_A = 30·7.5/(12+7.5) = 11.54 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 11.54·8/12 = 7.692 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (11.54 − 7.692)/4 = 0.9615 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 7.5 Ω，所以左侧路径为 R₂+7.5 = 11.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11.5 = 4.718 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−2.5)·4.718 = −11.79 V

V_A = V_B·7.5/11.5 = −7.692 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (−7.692 − −11.79)/4 = 1.026 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−6)·11.5/19.5 = −3.538 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −3.538·7.5/11.5 = −2.308 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (−2.308 − −3.538)/4 = 0.3077 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = 0.9615 + 1.026 + 0.3077 = 2.295 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 24.44 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.444 + 20 = 24.44 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 2.541 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·25/(10+25) = 7.143 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.143 + 2 = 9.143 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 17.14 + 4·7.143 = 45.71 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 45.71 + 4·2 = 53.71 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 53.71/(9.143 + 12) = 2.541 A

11.运放电路

答案: R_f = 5 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (6 − 1)·1 = 5 kΩ

答案

R_f = 5 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = −3.149 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.5/1 = 0.5 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.7/10 = 0.17 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.67 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −4.7·0.67 = −3.149 V

答案

V_out = −3.149 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 5.956 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2.35 ms

电流的衰减

i(t) = 2.5·e^−5/2.35 = 0.2978 A

v_R = R·i = 20·0.2978 = 5.956 V

答案

v_R = 5.956 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 320.5 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 68 µF = 462.4 ms

v_C(t) = 12 + (30 − 12)·e^−t/τ

求解时间

21 = 12 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (21 − 12)/(30 − 12) = 0.5

t = τ·ln((30 − 12)/(21 − 12)) = 462.4·ln(2) = 320.5 ms

答案

t = 320.5 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th