电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 18 VI_s = 2 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 19 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩV_A = 19 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 24 VV₂ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 Ω

V_R1 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 5 VV₂ = 5 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 Ω

I_R3 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 30 VI_s = 2.5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

P_R1 = W

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 2 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 15 VI_s = 6 AR₁ = 30 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 2 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 3。

R₁ = 47 kΩA_v = 3

R_f = kΩ

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = 0.05 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 10 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 2 kΩR_f2 = 22 kΩV_in = 0.05 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

V_s = 10 VR = 100 ΩL = 150 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 150 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 68 µFt = 150 ms

i₂ = mA

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.324 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 20 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 10·35/(10+35) = 7.778 Ω

R_eq = R₁ + 7.778 = 20 + 7.778 = 27.78 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/27.78 = 0.324 A

答案

I_R1 = 0.324 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 16.54 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 12 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 7.969 Ω

R₃ + 7.969 = 12.97 Ω

R₂ ∥ 12.97 = 8.539 Ω

R_eq = R₁ + 8.539 = 8 + 8.539 = 16.54 Ω

答案

R_eq = 16.54 Ω

3.节点分析

答案: V_B = −6.495 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 18)/12 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.5·V_A − 0.08333·V_B = 1.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/12 = (−2)

−0.08333·V_A + 0.2833·V_B = −2

求解

Δ = (0.5)(0.2833) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.1347

V_A = Δ₁/Δ = 0.2583/0.1347 = 1.918 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.875/0.1347 = −6.495 V

答案

V_B = −6.495 V

4.节点分析

答案: I_s = 6.425 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(19 − 30)/8 + 19/25 = (V_B − 19)/8

−0.615 = (V_B − 19)/8 → V_B = 14.08 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (14.08 − 19)/8 + 14.08/2 = 6.425 A

答案

I_s = 6.425 A

5.网孔分析

答案: V_R1 = 9.833 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 24

7·I₁ − 5·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

2·I₂ + 5(I₂ − I₁) = (−10)

−5·I₁ + 7·I₂ = −10

求解

Δ = (7)(7) − (−5)(−5) = 24

I₁ = Δ₁/Δ = 118/24 = 4.917 A

I₂ = Δ₂/Δ = 50/24 = 2.083 A

答案

I_R1 = I₁ = 4.917 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 4.917·2 = 9.833 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R3 = −0.2562 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 5

13·I₁ − 5·I₂ = 5

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 40·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

6·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−5)

−25·I₂ + 31·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 7220

I₁ = Δ₁/Δ = 2450/7220 = 0.3393 A

I₂ = Δ₂/Δ = −850/7220 = −0.1177 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1850/7220 = −0.2562 A

答案

I_R3 = I₃ = −0.2562 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R1 = 100.7 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 4+15 = 19 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·19/(4+19) = 3.304 Ω

V_A = 30·3.304/(3+3.304) = 15.72 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 15.72·15/19 = 12.41 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (30 − 15.72)/3 = 4.759 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₂ = 3·4/(3+4) = 1.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 15 ∥ 5.714 = 4.138 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −2.5·4.138 = −10.34 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −10.34·1.714/5.714 = −3.103 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − −3.103)/3 = 1.034 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ = 4.759 + 1.034 = 5.793 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 5.793²·3 = 100.7 W

答案

P_R1 = 100.7 W

把各单独情况下的功率相加会得到 71.14 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: V₂ = 11 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 15 = 5.217 Ω

V_A = 10·5.217/(6+5.217) = 4.651 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.651·12/15 = 3.721 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 3.429 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.429 = 6.429 Ω

R_eq = R₄ ∥ 6.429 = 4.186 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −3·4.186 = −12.56 V

V_A = V_B·3.429/6.429 = −6.698 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 3.429 Ω

V_A‴ = V₂·3.429/(12 + 3 + 3.429) = 0.186·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 4.651 + (−6.698) + 0.186·V₂ = 0

V₂ = 2.047/0.186 = 11 V

答案

V₂ = 11 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 1.5 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 6 = 8 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·6/(3+6) = 12 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 12/8 = 1.5 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 57.53 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 30·12/(30+12) = 8.571 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8.571 + 15 = 23.57 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.286 + (−6)·8.571 = −47.14 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −47.14 + (−6)·15 = −137.1 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −137.1/(23.57 + 2) = −5.363 A

P_L = I_L²·R_L = −5.363²·2 = 57.53 W

11.运放电路

答案: R_f = 94 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (3 − 1)·47 = 94 kΩ

答案

R_f = 94 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = −0.6 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/10 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/2 = 12

逐级计算

V₁ = −1·0.05 = −0.05 V

V_out = 12·(−0.05) = −0.6 V

答案

V_out = −0.6 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 3.454 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1.5 ms

i(∞) = V_s/R = 10/100 = 0.1 A

求解时间

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −1.5·ln(0.1) = 3.454 ms

答案

t = 3.454 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 3.44 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 30·2.2/(1 + 2.2) = 20.63 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 2.2·68 = 149.6 ms

放电

v_C(t) = 20.63·e^−150/149.6 = 7.567 V

i₂ = v_C/R₂ = 7.567/2.2 = 3.44 mA

答案

i₂ = 3.44 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th