电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 1 AR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 16 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩV_A = 16 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VV₂ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 Ω

I_R1 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 25 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 两端按图示极性的电压 V_R4。

V₁ = 6 VI_s = 1 AR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

V_R4 = V

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 12 VI_s = 0.5 AV₂ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 36 VI_s = 6 AR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 1.5 VR_a = 1 kΩR_b = 4.7 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.2 VV₂ = 0.6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。开关在 t = 0 闭合时电容未充电。求开关闭合后电路的时间常数 τ。

V_s = 6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 47 µF

τ = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 10.8 V 时它必须触发，恰好在开始后 50 ms。已知 C = 47 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 12 VV_th = 10.8 VT = 50 msC = 47 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 3.063 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 8·21/(8+21) = 5.793 Ω

R_eq = R₁ + 5.793 = 4 + 5.793 = 9.793 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9.793 = 3.063 A

答案

I_R1 = 3.063 A

2.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.365 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 3 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 5.739 Ω

R₃ + 5.739 = 30.74 Ω

R₂ ∥ 30.74 = 1.878 Ω

R_eq = R₁ + 1.878 = 5 + 1.878 = 6.878 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/6.878 = 1.454 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1.454·5 = 2.73 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.73/2 = 1.365 A

答案

I_R2 = 1.365 A

3.节点分析

答案: I_R1 = 0.7647 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/15 + (V_A − 24)/15 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.1833·V_A − 0.05·V_B = 1.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/15 + (V_B − V_A)/20 = 1

−0.05·V_A + 0.1167·V_B = 1

求解

Δ = (0.1833)(0.1167) − (−0.05)(−0.05) = 0.01889

V_A = Δ₁/Δ = 0.2367/0.01889 = 12.53 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.2633/0.01889 = 13.94 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (24 − 12.53)/15 = 0.7647 A

4.节点分析

答案: I_s = 3.702 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(16 − 12)/2 + 16/25 = (V_B − 16)/4

2.64 = (V_B − 16)/4 → V_B = 26.56 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (26.56 − 16)/4 + 26.56/25 = 3.702 A

答案

I_s = 3.702 A

5.网孔分析

答案: I_R1 = 2.862 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 24

12·I₁ − 10·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−10)

−10·I₁ + 18·I₂ = −10

求解

Δ = (12)(18) − (−10)(−10) = 116

I₁ = Δ₁/Δ = 332/116 = 2.862 A

I₂ = Δ₂/Δ = 120/116 = 1.034 A

答案

I_R1 = I₁ = 2.862 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 1.289 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 30

22·I₁ − 2·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 37·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−15)

−25·I₂ + 27·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 8120

I₁ = Δ₁/Δ = 10470/8120 = 1.289 A

I₂ = Δ₂/Δ = −6630/8120 = −0.8165 A

I₃ = Δ₃/Δ = −10650/8120 = −1.312 A

答案

I₁ = 1.289 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R4 = −2.694 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 6+6 = 12 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 5·12/(5+12) = 3.529 Ω

V_A = 6·3.529/(8+3.529) = 1.837 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1.837·6/12 = 0.9184 V

V_R4′ = V_B − 0 = 0.9184 − 0 = 0.9184 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 8·5/(8+5) = 3.077 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 6 ∥ 9.077 = 3.612 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−1)·3.612 = −3.612 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −3.612·3.077/9.077 = −1.224 V

V_R4″ = V_B − 0 = −3.612 − 0 = −3.612 V

叠加各分量

V_R4 = V_R4′ + V_R4″

V_R4 = 0.9184 + (−3.612) = −2.694 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: V_R2 = −6.396 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 25 = 6.061 Ω

V_A = 12·6.061/(10+6.061) = 4.528 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 4.528·15/25 = 2.717 V

V_R2′ = V_B − V_A = 2.717 − 4.528 = −1.811 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 4.444 Ω，所以左侧路径为 R₂+4.444 = 14.44 Ω

R_eq = R₄ ∥ 14.44 = 7.358 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−0.5)·7.358 = −3.679 V

V_A = V_B·4.444/14.44 = −1.132 V

V_R2″ = V_B − V_A = −3.679 − −1.132 = −2.547 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 10·8/(10+8) = 4.444 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−6)·14.44/29.44 = −2.943 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −2.943·4.444/14.44 = −0.9057 V

V_R2‴ = V_B − V_A = −2.943 − −0.9057 = −2.038 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = (−1.811) + (−2.547) + (−2.038) = −6.396 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 20 = 30 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·20/(20+20) = 5 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −5.561 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.667 + 12 = 13.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + (−6)·1.667 = −4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −4 + (−6)·12 = −76 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −76/13.67 = −5.561 A

11.运放电路

答案: V_out = 3.868 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = 1.5·4.7/(1 + 4.7) = 1.237 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = 1.237·(1 + 10/4.7) = 3.868 V

答案

V_out = 3.868 V

12.运放电路

答案: V_out = −4.727 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.2/10 = 0.02 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.6/22 = 0.02727 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.04727 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −100·0.04727 = −4.727 V

答案

V_out = −4.727 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 84.75 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 R_th；把电容断开，求它最终稳定的电压。

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·2.2/(10 + 2.2) = 1.803 kΩ

v_C(∞) = 6·2.2/(10 + 2.2) = 1.082 V

时间常数

τ = R_th·C = 1.803·47 = 84.75 ms

答案

τ = 84.75 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 0.462 kΩ

所需的时间常数

10.8 = 12·(1 − e^−50/τ) → τ = 50/ln(12/(12 − 10.8))

τ = 50/2.303 = 21.71 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 21.71/47 = 0.462 kΩ

答案

R = 0.462 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流

输出电压

答案

电容看到的戴维南等效电路

时间常数

答案

所需的时间常数

电阻

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

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