电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 6 VI_s = 4 AR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VI_s = 2 AV₂ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 4 Ω

I_R2 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 18 VV₂ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 Ω

I_R3 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VV₂ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 12 Ω

I_R1 = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 15 V、I_s = 6 mA 时，I = 28.8 mA；V_s = 4 V、I_s = 4 mA 时，I = 7.2 mA。求 V_s = 10 V、I_s = 6 mA 时的负载电流 I。

15 V, 6 mA → 28.8 mA4 V, 4 mA → 7.2 mAV_s = 10 V, I_s = 6 mA

I = mA

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 12 VI_s = 4 AR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 30 VI_s = 2 AR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 3。

R₁ = 4.7 kΩA_v = 3

R_f = kΩ

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = −0.2 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 1 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 2 kΩV_in = −0.2 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 12 VR = 5 ΩL = 68 mH

W(∞) = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 12 V，极性如图所示。求 t = 400 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 24 VR = 6.8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 12 Vt = 400 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.9832 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 10 + 6 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 10·16/(10+16) = 6.154 Ω

R_eq = R₁ + 6.154 = 3 + 6.154 = 9.154 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/9.154 = 0.9832 A

答案

I_R1 = 0.9832 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 5.82 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 12 + 12 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 12.24 Ω

R₃ + 12.24 = 20.24 Ω

R₂ ∥ 20.24 = 1.82 Ω

R_eq = R₁ + 1.82 = 4 + 1.82 = 5.82 Ω

答案

R_eq = 5.82 Ω

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.6613 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 6 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/12 + (V_A − 6)/8 + (V_A − V_B)/15 = 0

0.275·V_A − 0.06667·V_B = 0.75

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/15 = 4

−0.06667·V_A + 0.2667·V_B = 4

求解

Δ = (0.275)(0.2667) − (−0.06667)(−0.06667) = 0.06889

V_A = Δ₁/Δ = 0.4667/0.06889 = 6.774 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.15/0.06889 = 16.69 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (6.774 − 16.69)/15 = −0.6613 A

4.节点分析

答案: I_R2 = 0.5408 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 5 V, V₂ = 15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/15 + (V_A − 5)/6 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.4333·V_A − 0.2·V_B = 0.8333

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/5 + (V_B − 15)/15 = (−2)

−0.2·V_A + 0.5167·V_B = −1

求解

Δ = (0.4333)(0.5167) − (−0.2)(−0.2) = 0.1839

V_A = Δ₁/Δ = 0.2306/0.1839 = 1.254 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.2667/0.1839 = −1.45 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (1.254 − −1.45)/5 = 0.5408 A

5.网孔分析

答案: I_R3 = 0.7321 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 18

23·I₁ − 20·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−10)

−20·I₁ + 32·I₂ = −10

求解

Δ = (23)(32) − (−20)(−20) = 336

I₁ = Δ₁/Δ = 376/336 = 1.119 A

I₂ = Δ₂/Δ = 130/336 = 0.3869 A

答案

I_R3 = I₁ − I₂ = 0.7321 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R1 = 3.476 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 24

7·I₁ − 3·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 30·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

6·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−12)

−12·I₂ + 18·I₃ = −12

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2610

I₁ = Δ₁/Δ = 9072/2610 = 3.476 A

I₂ = Δ₂/Δ = 288/2610 = 0.1103 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1548/2610 = −0.5931 A

答案

I_R1 = I₁ = 3.476 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 18.8 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

15·k₁ + 6·k₂ = 28.8

4·k₁ + 4·k₂ = 7.2

求常数

Δ = (15)(4) − (6)(4) = 36

k₁ = Δ₁/Δ = 72/36 = 2

k₂ = Δ₂/Δ = −7.2/36 = −0.2

k₁ = 2 mA/V, k₂ = −0.2

预测新的电流

I = 2·10 + (−0.2)·6 = 18.8 mA

答案

I = 18.8 mA

8.叠加定理

答案: V₂ = 15.2 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 28 = 7.368 Ω

V_A = 12·7.368/(20+7.368) = 3.231 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.231·8/28 = 0.9231 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 6.667 Ω，所以左侧路径为 R₂+6.667 = 26.67 Ω

R_eq = R₄ ∥ 26.67 = 6.154 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −4·6.154 = −24.62 V

V_A = V_B·6.667/26.67 = −6.154 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 6.667 Ω

V_A‴ = V₂·6.667/(8 + 20 + 6.667) = 0.1923·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 3.231 + (−6.154) + 0.1923·V₂ = 0

V₂ = 2.923/0.1923 = 15.2 V

答案

V₂ = 15.2 V

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 6.8 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 2 = 6.8 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = −45.33 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·4/(8+4) = 2.667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.667 + 25 = 27.67 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 10 + (−2)·2.667 = 4.667 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 4.667 + (−2)·25 = −45.33 V

11.运放电路

答案: R_f = 9.4 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (3 − 1)·4.7 = 9.4 kΩ

答案

R_f = 9.4 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = 2.182 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/1 = −10

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 2/22 = 1.091

逐级计算

V₁ = −10·(−0.2) = 2 V

V_out = 1.091·2 = 2.182 V

答案

V_out = 2.182 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 195.8 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 5 Ω = 13.6 ms

i(∞) = V_s/R = 12/5 = 2.4 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·68·2.4² = 195.8 mJ

答案

W(∞) = 195.8 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 20.57 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 47 µF = 319.6 ms

v_C(t) = 24 + (12 − 24)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(400) = 24 + (−12)·e^−400/319.6 = 20.57 V

答案

v_C = 20.57 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

同相放大器的增益

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th