电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 15 VI_s = 5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 18 VI_s = 3 AV₂ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 2 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₄ 两端按图示极性的电压 V_R4。

V₁ = 9 VV₂ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 10 Ω

V_R4 = V

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 6 V、I_s = 3 mA 时，I = 7.2 mA；V_s = 5 V、I_s = 5 mA 时，I = 7 mA。求 V_s = 20 V、I_s = 3 mA 时的负载电流 I。

6 V, 3 mA → 7.2 mA5 V, 5 mA → 7 mAV_s = 20 V, I_s = 3 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₃ 两端按图示极性的电压 V_R3。

V₁ = 6 VI_s = 2.5 AV₂ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

V_R3 = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 30 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 12 VI_s = 3 AR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 30 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = −0.5 VV₂ = 0.6 VR₁ = R₃ = 1 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = −1 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 2 kΩR_f1 = 2 kΩR₂ = 1 kΩR_f2 = 10 kΩV_in = −1 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 12 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 4 V，极性如图所示。求 t = 250 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 5 VR = 4.7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 4 Vt = 250 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 12.8 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω

R_eq = R₁ + 4.8 = 8 + 4.8 = 12.8 Ω

答案

R_eq = 12.8 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 12.59 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 7.368 Ω

R₃ + 7.368 = 19.37 Ω

R₂ ∥ 19.37 = 6.595 Ω

R_eq = R₁ + 6.595 = 6 + 6.595 = 12.59 Ω

答案

R_eq = 12.59 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 84.68 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 15)/12 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.6667·V_A − 0.25·V_B = 1.25

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/4 = 5

−0.25·V_A + 0.4167·V_B = 5

求解

Δ = (0.6667)(0.4167) − (−0.25)(−0.25) = 0.2153

V_A = Δ₁/Δ = 1.771/0.2153 = 8.226 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.646/0.2153 = 16.94 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 16.94·5 = 84.68 W

答案

P_Is = 84.68 W

4.节点分析

答案: V_B = 5.84 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 18 V, V₂ = 9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/4 + (V_A − 18)/20 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.3833·V_A − 0.08333·V_B = 0.9

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 9)/30 = 3

−0.08333·V_A + 0.6167·V_B = 3.3

求解

Δ = (0.3833)(0.6167) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.2294

V_A = Δ₁/Δ = 0.83/0.2294 = 3.617 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.34/0.2294 = 5.84 V

答案

V_B = 5.84 V

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.25 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 24

16·I₁ − 8·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

8·I₂ + 8(I₂ − I₁) = (−15)

−8·I₁ + 16·I₂ = −15

求解

Δ = (16)(16) − (−8)(−8) = 192

I₁ = Δ₁/Δ = 264/192 = 1.375 A

I₂ = Δ₂/Δ = −48/192 = −0.25 A

答案

I₂ = −0.25 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R4 = 6.81 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

3·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 9

15·I₁ − 12·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

25·I₂ + 12(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−12·I₁ + 47·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

20·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−5)

−10·I₂ + 30·I₃ = −5

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 15330

I₁ = Δ₁/Δ = 11190/15330 = 0.7299 A

I₂ = Δ₂/Δ = 2490/15330 = 0.1624 A

I₃ = Δ₃/Δ = −1725/15330 = −0.1125 A

答案

I_R4 = I₁ − I₂ = 0.5675 A

V_R4 = I_R4·R₄ = 0.5675·12 = 6.81 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 21.2 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

6·k₁ + 3·k₂ = 7.2

5·k₁ + 5·k₂ = 7

求常数

Δ = (6)(5) − (3)(5) = 15

k₁ = Δ₁/Δ = 15/15 = 1

k₂ = Δ₂/Δ = 6/15 = 0.4

k₁ = 1 mA/V, k₂ = 0.4

预测新的电流

I = 1·20 + 0.4·3 = 21.2 mA

答案

I = 21.2 mA

8.叠加定理

答案: V_R3 = 6.304 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 35 = 7.778 Ω

V_A = 6·7.778/(5+7.778) = 3.652 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.652·5/35 = 0.5217 V

V_R3′ = V_A − 0 = 3.652 − 0 = 3.652 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.333 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.333 = 33.33 Ω

R_eq = R₄ ∥ 33.33 = 4.348 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·4.348 = 10.87 V

V_A = V_B·3.333/33.33 = 1.087 V

V_R3″ = V_A − 0 = 1.087 − 0 = 1.087 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5·10/(5+10) = 3.333 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 18·33.33/38.33 = 15.65 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 15.65·3.333/33.33 = 1.565 V

V_R3‴ = V_A − 0 = 1.565 − 0 = 1.565 V

叠加各分量

V_R3 = V_R3′ + V_R3″ + V_R3‴

V_R3 = 3.652 + 1.087 + 1.565 = 6.304 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.2027 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·4/(4+4) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 15 = 17 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·4/(4+4) = 7.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 7.5/(17 + 20) = 0.2027 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = −0.4894 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 3 = 8.455 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.545 + (−3)·5.455 = −9.818 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −9.818 + (−3)·3 = −18.82 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −18.82/(8.455 + 30) = −0.4894 A

11.运放电路

答案: V_out = 11 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.6·10/(1 + 10) = 0.5455 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(−0.5 − 0.5455)/1 = (0.5455 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/1)·(0.6 − (−0.5)) = 11 V

答案

V_out = 11 V

12.运放电路

答案: V_out = 11 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −2/2 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 10/1 = 11

逐级计算

V₁ = −1·(−1) = 1 V

V_out = 11·1 = 11 V

答案

V_out = 11 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 0.5519 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms

i(∞) = V_s/R = 12/47 = 0.2553 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.2553·(1 − e^−1/1.447) = 0.1274 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·68·0.1274² = 0.5519 mJ

答案

W = 0.5519 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 4.911 V

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms

v_C(t) = 5 + (4 − 5)·e^−t/τ

给定时刻的电压

v_C(250) = 5 + (−1)·e^−250/103.4 = 4.911 V

答案

v_C = 4.911 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电压

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th