电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求电流源 I_s 输出的功率 P_Is。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

P_Is = W

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.4·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ωg = 0.4 A/V

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 6 Ω

V_R1 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 30 Ω

I_R3 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VI_s = 1 AR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VI_s = 1.5 AV₂ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 25 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 30 VI_s = 1.5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 25 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 6。

R₁ = 1 kΩA_v = 6

R_f = kΩ

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±14 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 0.4 V 时，电容未充电。求 t = 100 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 0.4 VR = 47 kΩC = 0.22 µFV_sat = ±14 Vt = 100 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 10 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 220 mHt = 10 ms

W = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 50 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 6 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 50 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.162 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6.875 Ω

R_eq = R₁ + 6.875 = 2 + 6.875 = 8.875 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8.875 = 1.69 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.69·2 = 11.62 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.62/10 = 1.162 A

答案

I_R2 = 1.162 A

2.串并联电阻

答案: R_eq = 27.47 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 5 + 30 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 7.778 Ω

R₃ + 7.778 = 19.78 Ω

R₂ ∥ 19.78 = 7.469 Ω

R_eq = R₁ + 7.469 = 20 + 7.469 = 27.47 Ω

答案

R_eq = 27.47 Ω

3.节点分析

答案: P_Is = 13.72 W

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/10 + (V_A − 10)/2 + (V_A − V_B)/10 = 0

0.7·V_A − 0.1·V_B = 5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/10 = 2.5

−0.1·V_A + 0.6·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.7)(0.6) − (−0.1)(−0.1) = 0.41

V_A = Δ₁/Δ = 3.25/0.41 = 7.927 V

V_B = Δ₂/Δ = 2.25/0.41 = 5.488 V

电流源输出的功率

电源把 Iₛ 从地（0 V）向上注入节点 B，即升到 V_B。电流从其 + 端流出的电源输出功率 P = V·I。

P_Is = V_B·I_s = 5.488·2.5 = 13.72 W

答案

P_Is = 13.72 W

4.节点分析

答案: I_R4 = 10.56 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.6067·V_A − 0.06667·V_B = 15

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.4·V_A

−0.4667·V_A + 0.2333·V_B = 0

求解

Δ = (0.6067)(0.2333) − (−0.06667)(−0.4667) = 0.1104

V_A = Δ₁/Δ = 3.5/0.1104 = 31.69 V

V_B = Δ₂/Δ = 7/0.1104 = 63.38 V

流过 R₄ 的电流

I_R4 = V_B/R₄ = 63.38/6 = 10.56 A

答案

I_R4 = 10.56 A

5.网孔分析

答案: V_R1 = −2.308 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 12

16·I₁ − 6·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−30)

−6·I₁ + 12·I₂ = −30

求解

Δ = (16)(12) − (−6)(−6) = 156

I₁ = Δ₁/Δ = −36/156 = −0.2308 A

I₂ = Δ₂/Δ = −408/156 = −2.615 A

答案

I_R1 = I₁ = −0.2308 A

V_R1 = I_R1·R₁ = −0.2308·10 = −2.308 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R3 = −1.236 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 12

17·I₁ − 2·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 42·I₂ − 30·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

15·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−30)

−30·I₂ + 45·I₃ = −30

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 16650

I₁ = Δ₁/Δ = 10080/16650 = 0.6054 A

I₂ = Δ₂/Δ = −14220/16650 = −0.8541 A

I₃ = Δ₃/Δ = −20580/16650 = −1.236 A

答案

I_R3 = I₃ = −1.236 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = −4.128 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 20+10 = 30 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·30/(4+30) = 3.529 Ω

V_A = 24·3.529/(2+3.529) = 15.32 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 15.32·10/30 = 5.106 V

I_R1′ = (V_A − V₁)/R₁ = (15.32 − 24)/2 = −4.34 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·4/(2+4) = 1.333 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 10 ∥ 21.33 = 6.809 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·6.809 = 6.809 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 6.809·1.333/21.33 = 0.4255 V

I_R1″ = (V_A − V₁)/R₁ = (0.4255 − 0)/2 = 0.2128 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = (−4.34) + 0.2128 = −4.128 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R3 = 1.154 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 4 ∥ 11 = 2.933 Ω

V_A = 15·2.933/(30+2.933) = 1.336 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.336·5/11 = 0.6073 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (1.336 − 0)/4 = 0.334 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.529 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.529 = 9.529 Ω

R_eq = R₄ ∥ 9.529 = 3.279 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·3.279 = 4.919 V

V_A = V_B·3.529/9.529 = 1.822 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (1.822 − 0)/4 = 0.4555 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 30·4/(30+4) = 3.529 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 6·9.529/14.53 = 3.935 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 3.935·3.529/9.529 = 1.457 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (1.457 − 0)/4 = 0.3644 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = 0.334 + 0.4555 + 0.3644 = 1.154 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.2206 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.714 + 8 = 9.714 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·2/(12+2) = 2.143 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 2.143/9.714 = 0.2206 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.068 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·15/(5+15) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 6 = 9.75 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 22.5 + 1.5·3.75 = 28.13 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 28.13 + 1.5·6 = 37.13 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 37.13/(9.75 + 25) = 1.068 A

11.运放电路

答案: R_f = 5 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (6 − 1)·1 = 5 kΩ

答案

R_f = 5 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = −3.868 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 47 kΩ · 0.22 µF = 10.34 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −0.4/10.34 = −0.03868 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −0.4·100/10.34 = −3.868 V

答案

V_out = −3.868 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: W = 15.49 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0.4255 A

给定时刻的电流

i(t) = 0.4255·(1 − e^−10/4.681) = 0.3753 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·220·0.3753² = 15.49 mJ

答案

W = 15.49 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 0.1085 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 6·1/(4.7 + 1) = 1.053 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·22 = 22 ms

放电

v_C(t) = 1.053·e^−50/22 = 0.1085 V

答案

v_C = 0.1085 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

电流源输出的功率

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

流过 R₄ 的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

储存的能量

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th