电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 Ω

V_A = V

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 15 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩV_A = 15 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 9 VV₂ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 30 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 9 VI_s = 2 AR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

P_R1 = W

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 10 VI_s = 1.5 AV₂ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_R4 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 24 VI_s = 2.5 AR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −2 VR_a = 10 kΩR_b = 10 kΩR₁ = 4.7 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。求总电压增益 A_v = V_out/V_in。

R₁ = 4.7 kΩR_f1 = 4.7 kΩR₂ = 100 kΩR_f2 = 22 kΩ

A_v =

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

v_R = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 150 ms 时的电容电压 v_C。

V_s = 20 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 1 kΩC = 68 µFt = 150 ms

v_C = V

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 8.679 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω

R_eq = R₁ + 2.679 = 6 + 2.679 = 8.679 Ω

答案

R_eq = 8.679 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 15.38 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 8 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 9.756 Ω

R₃ + 9.756 = 21.76 Ω

R₂ ∥ 21.76 = 3.379 Ω

R_eq = R₁ + 3.379 = 12 + 3.379 = 15.38 Ω

答案

R_eq = 15.38 Ω

3.节点分析

答案: V_A = 6.196 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/2 + (V_A − 15)/3 + (V_A − V_B)/5 = 0

1.033·V_A − 0.2·V_B = 5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/3 + (V_B − V_A)/5 = 2.5

−0.2·V_A + 0.5333·V_B = 2.5

求解

Δ = (1.033)(0.5333) − (−0.2)(−0.2) = 0.5111

V_A = Δ₁/Δ = 3.167/0.5111 = 6.196 V

V_B = Δ₂/Δ = 3.583/0.5111 = 7.011 V

答案

V_A = 6.196 V

4.节点分析

答案: I_s = 10.31 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(15 − 10)/2 + 15/12 = (V_B − 15)/10

3.75 = (V_B − 15)/10 → V_B = 52.5 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (52.5 − 15)/10 + 52.5/8 = 10.31 A

答案

I_s = 10.31 A

5.网孔分析

答案: I₁ = −0.5625 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 9

25·I₁ − 15·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−30)

−15·I₁ + 25·I₂ = −30

求解

Δ = (25)(25) − (−15)(−15) = 400

I₁ = Δ₁/Δ = −225/400 = −0.5625 A

I₂ = Δ₂/Δ = −615/400 = −1.538 A

答案

I₁ = −0.5625 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −1.351 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 9

10·I₁ − 2·I₂ = 9

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 34·I₂ − 30·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−10)

−30·I₂ + 33·I₃ = −10

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2088

I₁ = Δ₁/Δ = 1398/2088 = 0.6695 A

I₂ = Δ₂/Δ = −2406/2088 = −1.152 A

I₃ = Δ₃/Δ = −2820/2088 = −1.351 A

答案

I₃ = −1.351 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R1 = 2.287 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 4+4 = 8 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

V_A = 9·3.077/(8+3.077) = 2.5 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.5·4/8 = 1.25 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (9 − 2.5)/8 = 0.8125 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 8·5/(8+5) = 3.077 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 7.077 = 2.556 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·2.556 = 5.111 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 5.111·3.077/7.077 = 2.222 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 2.222)/8 = −0.2778 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ = 0.8125 + (−0.2778) = 0.5347 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 0.5347²·8 = 2.287 W

答案

P_R1 = 2.287 W

把各单独情况下的功率相加会得到 5.899 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: I_R4 = −0.3019 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 10 ∥ 35 = 7.778 Ω

V_A = 10·7.778/(4+7.778) = 6.604 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 6.604·15/35 = 2.83 V

I_R4′ = (V₂ − V_B)/R₄ = (0 − 2.83)/15 = −0.1887 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.857 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.857 = 22.86 Ω

R_eq = R₄ ∥ 22.86 = 9.057 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·9.057 = 13.58 V

V_A = V_B·2.857/22.86 = 1.698 V

I_R4″ = (V₂ − V_B)/R₄ = (0 − 13.58)/15 = −0.9057 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 30·22.86/37.86 = 18.11 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 18.11·2.857/22.86 = 2.264 V

I_R4‴ = (V₂ − V_B)/R₄ = (30 − 18.11)/15 = 0.7925 A

叠加各分量

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ + I_R4‴

I_R4 = (−0.1887) + (−0.9057) + 0.7925 = −0.3019 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 6.429 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·5/(2+5) = 1.429 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.429 + 12 = 13.43 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·5/(2+5) = 6.429 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 1.419 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 25·15/(25+15) = 9.375 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 9.375 + 2 = 11.38 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 2.5·9.375 = 32.44 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 32.44 + 2.5·2 = 37.44 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 37.44/(11.38 + 15) = 1.419 A

11.运放电路

答案: V_out = −5.681 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −2·10/(10 + 10) = −1 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −1·(1 + 22/4.7) = −5.681 V

答案

V_out = −5.681 V

12.运放电路

答案: A_v = −1.22

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −4.7/4.7 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/100 = 1.22

总增益

A_v = A₁·A₂ = −1·1.22 = −1.22

答案

A_v = −1.22

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 71.9 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms

电流的衰减

i(t) = 3·e^−1/1.36 = 1.438 A

v_R = R·i = 50·1.438 = 71.9 V

答案

v_R = 71.9 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: v_C = 0.3865 V

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 20·1/(4.7 + 1) = 3.509 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·68 = 68 ms

放电

v_C(t) = 3.509·e^−150/68 = 0.3865 V

答案

v_C = 0.3865 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

+ 输入端的电压

同相增益

答案

各级的增益

总增益

答案

时间常数

电流的衰减

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th