电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

I_s = 4 AV_s = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 Ω

I_x = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 9 VI_s = 0.5 AV₂ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 12 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 15 VV₂ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 18 VV₂ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 吸收的功率 P_R2。

V₁ = 15 VI_s = 2 AR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

P_R2 = W

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VI_s = 1.5 AV₂ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 36 VI_s = 1.5 AR₁ = 30 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.5 VR₁ = 10 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。求总电压增益 A_v = V_out/V_in。

R₁ = 10 kΩR_f1 = 47 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 4.7 kΩ

A_v =

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

V_s = 9 VR = 15 ΩL = 10 mH

W(∞) = mJ

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 14 V？求 t。

V_s = 20 VR = 6.8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 1.274 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω

R_eq = R₁ + 5.217 = 4 + 5.217 = 9.217 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9.217 = 1.953 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.953·4 = 10.19 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.19/8 = 1.274 A

答案

I_R2 = 1.274 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.3355 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 25 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 15.25 Ω

R₃ + 15.25 = 19.25 Ω

R₂ ∥ 19.25 = 9.808 Ω

R_eq = R₁ + 9.808 = 20 + 9.808 = 29.81 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/29.81 = 0.3355 A

答案

I_R1 = 0.3355 A

3.节点分析

答案: I_x = 1.688 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 6

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/12 + (V_A + 6)/20 = 4

V_A = (4 − 6/20)/(1/12 + 1/20) = 27.75 V

V_B = 27.75 + 6 = 33.75 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

I_x = V_B/R₂ = 33.75/20 = 1.688 A

答案

I_x = 1.688 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_B = 5.12 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V, V₂ = 5 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/20 + (V_A − 9)/30 + (V_A − V_B)/12 = 0

0.1667·V_A − 0.08333·V_B = 0.3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/12 + (V_B − 5)/12 = 0.5

−0.08333·V_A + 0.25·V_B = 0.9167

求解

Δ = (0.1667)(0.25) − (−0.08333)(−0.08333) = 0.03472

V_A = Δ₁/Δ = 0.1514/0.03472 = 4.36 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.1778/0.03472 = 5.12 V

答案

V_B = 5.12 V

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.4565 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 6(I₁ − I₂) = 15

12·I₁ − 6·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

20·I₂ + 6(I₂ − I₁) = (−18)

−6·I₁ + 26·I₂ = −18

求解

Δ = (12)(26) − (−6)(−6) = 276

I₁ = Δ₁/Δ = 282/276 = 1.022 A

I₂ = Δ₂/Δ = −126/276 = −0.4565 A

答案

I₂ = −0.4565 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −2.645 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 18

7·I₁ − 5·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 27·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

3·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−30)

−12·I₂ + 15·I₃ = −30

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 1452

I₁ = Δ₁/Δ = 2898/1452 = 1.996 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1170/1452 = −0.8058 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3840/1452 = −2.645 A

答案

I₃ = −2.645 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R2 = 9.664 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 12+12 = 24 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 20·24/(20+24) = 10.91 Ω

V_A = 15·10.91/(4+10.91) = 10.98 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 10.98·12/24 = 5.488 V

I_R2′ = (V_A − 0)/R₂ = (10.98 − 0)/20 = 0.5488 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 4·20/(4+20) = 3.333 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 12 ∥ 15.33 = 6.732 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·6.732 = 13.46 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 13.46·3.333/15.33 = 2.927 V

I_R2″ = (V_A − 0)/R₂ = (2.927 − 0)/20 = 0.1463 A

把电流的各个贡献相加

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ = 0.5488 + 0.1463 = 0.6951 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R2 = I_R2²·R₂ = 0.6951²·20 = 9.664 W

答案

P_R2 = 9.664 W

把各单独情况下的功率相加会得到 6.452 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: I_R2 = 0.4545 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 6 ∥ 15 = 4.286 Ω

V_A = 18·4.286/(2+4.286) = 12.27 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 12.27·12/15 = 9.818 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (12.27 − 9.818)/3 = 0.8182 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.5 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.5 = 4.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ 4.5 = 3.273 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·3.273 = 4.909 V

V_A = V_B·1.5/4.5 = 1.636 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (1.636 − 4.909)/3 = −1.091 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−12)·4.5/16.5 = −3.273 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −3.273·1.5/4.5 = −1.091 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (−1.091 − −3.273)/3 = 0.7273 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = 0.8182 + (−1.091) + 0.7273 = 0.4545 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.2571 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.5 + 4 = 5.5 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·6/(2+6) = 4.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4.5/(5.5 + 12) = 0.2571 A

10.戴维南和诺顿

答案: V_th = 32.03 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 30·4/(30+4) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 15 = 18.53 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.235 + 1.5·3.529 = 9.529 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9.529 + 1.5·15 = 32.03 V

11.运放电路

答案: V_out = 1 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.5 V

I = V₋/R₁ = 0.5/10 = 0.05 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.5 + 0.05·10 = 1 V

答案

V_out = 1 V

12.运放电路

答案: A_v = −5.17

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −47/10 = −4.7

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4.7/47 = 1.1

总增益

A_v = A₁·A₂ = −4.7·1.1 = −5.17

答案

A_v = −5.17

13.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 1.8 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms

i(∞) = V_s/R = 9/15 = 0.6 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0.6² = 1.8 mJ

答案

W(∞) = 1.8 mJ

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 34.74 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 20 + (10 − 20)·e^−t/τ

求解时间

14 = 20 + (−10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14 − 20)/(10 − 20) = 0.6

t = τ·ln((10 − 20)/(14 − 20)) = 68·ln(1.667) = 34.74 ms

答案

t = 34.74 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

各级的增益

总增益

答案

时间常数和终值电流

储存的能量

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th