电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.1·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 Ωg = 0.1 A/V

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 24 VV₂ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 12 VV₂ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 8 Ω

I_R4 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 Ω

I_R3 = A

8.叠加定理困难

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电压源 V₂ 的值（极性如图所示）。

V₁ = 18 VI_s = 3 AR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

V₂ = V

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 24 VI_s = 1.5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 4 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求反相输入端的电压 V₋。

V₁ = 2.8 VV₂ = 1.8 VR₁ = R₃ = 10 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V₋ = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。输入为 V_in = −0.45 V。求输出电压 V_out。

R₁ = 4.7 kΩR_f1 = 47 kΩR₂ = 4.7 kΩR_f2 = 4.7 kΩV_in = −0.45 V

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 3 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 5 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 3 AR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms

v_R = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。 v_C 需要多长时间达到 17 V？求 t。

V_s = 20 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 12.62 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 10·32/(10+32) = 7.619 Ω

R_eq = R₁ + 7.619 = 5 + 7.619 = 12.62 Ω

答案

R_eq = 12.62 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 8.768 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 12 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 7.297 Ω

R₃ + 7.297 = 15.3 Ω

R₂ ∥ 15.3 = 3.768 Ω

R_eq = R₁ + 3.768 = 5 + 3.768 = 8.768 Ω

答案

R_eq = 8.768 Ω

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.418 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 12)/20 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.6333·V_A − 0.25·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/4 + (V_B − V_A)/4 = 1.5

−0.25·V_A + 0.5·V_B = 1.5

求解

Δ = (0.6333)(0.5) − (−0.25)(−0.25) = 0.2542

V_A = Δ₁/Δ = 0.675/0.2542 = 2.656 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.1/0.2542 = 4.328 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (2.656 − 4.328)/4 = −0.418 A

4.节点分析

答案: I_R4 = 0.03158 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.5733·V_A − 0.03333·V_B = 0.24

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.1·V_A

−0.1333·V_A + 0.06667·V_B = 0

求解

Δ = (0.5733)(0.06667) − (−0.03333)(−0.1333) = 0.03378

V_A = Δ₁/Δ = 0.016/0.03378 = 0.4737 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.032/0.03378 = 0.9474 V

流过 R₄ 的电流

I_R4 = V_B/R₄ = 0.9474/30 = 0.03158 A

答案

I_R4 = 0.03158 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −1.902 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 24

14·I₁ − 4·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

3·I₂ + 4(I₂ − I₁) = (−18)

−4·I₁ + 7·I₂ = −18

求解

Δ = (14)(7) − (−4)(−4) = 82

I₁ = Δ₁/Δ = 96/82 = 1.171 A

I₂ = Δ₂/Δ = −156/82 = −1.902 A

答案

I₂ = −1.902 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R4 = 0.52 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

15·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 12

25·I₁ − 10·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

25·I₂ + 10(I₂ − I₁) + 8(I₂ − I₃) = 0

−10·I₁ + 43·I₂ − 8·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 8(I₃ − I₂) = (−30)

−8·I₂ + 33·I₃ = −30

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 30575

I₁ = Δ₁/Δ = 13860/30575 = 0.4533 A

I₂ = Δ₂/Δ = −2040/30575 = −0.06672 A

I₃ = Δ₃/Δ = −28290/30575 = −0.9253 A

答案

I_R4 = I₁ − I₂ = 0.52 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R3 = 1.393 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 3+4 = 7 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 2·7/(2+7) = 1.556 Ω

V_A = 15·1.556/(12+1.556) = 1.721 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 1.721·4/7 = 0.9836 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (1.721 − 0.9836)/3 = 0.2459 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 4 ∥ 4.714 = 2.164 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−2.5)·2.164 = −5.41 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −5.41·1.714/4.714 = −1.967 V

I_R3″ = (V_A − V_B)/R₃ = (−1.967 − −5.41)/3 = 1.148 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = 0.2459 + 1.148 = 1.393 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V₂ = 7.2 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 8 ∥ 12 = 4.8 Ω

V_A = 18·4.8/(20+4.8) = 3.484 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.484·6/12 = 1.742 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 5.714 Ω，所以左侧路径为 R₂+5.714 = 11.71 Ω

R_eq = R₄ ∥ 11.71 = 3.968 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −3·3.968 = −11.9 V

V_A = V_B·5.714/11.71 = −5.806 V

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5.714 Ω

V_A‴ = V₂·5.714/(6 + 6 + 5.714) = 0.3226·V₂

令 V_A 为零

V_A = 0 时 R₃ 两端没有电压，所以其电流为零。

V_A′ + V_A″ + V_A‴ = 3.484 + (−5.806) + 0.3226·V₂ = 0

V₂ = 2.323/0.3226 = 7.2 V

答案

V₂ = 7.2 V

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.5669 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·12/(3+12) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 8 = 10.4 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·12/(3+12) = 14.4 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 14.4/(10.4 + 15) = 0.5669 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 20.35 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·25/(4+25) = 3.448 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.448 + 12 = 15.45 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 20.69 + 1.5·3.448 = 25.86 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 25.86 + 1.5·12 = 43.86 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 43.86/(15.45 + 4) = 2.255 A

P_L = I_L²·R_L = 2.255²·4 = 20.35 W

11.运放电路

答案: V₋ = 1.238 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1.8·22/(10 + 22) = 1.238 V

V₋ = V₊

答案

V₋ = 1.238 V

12.运放电路

答案: V_out = 9 V

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −47/4.7 = −10

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 4.7/4.7 = 2

逐级计算

V₁ = −10·(−0.45) = 4.5 V

V_out = 2·4.5 = 9 V

答案

V_out = 9 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 4.636 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2.2 ms

电流的衰减

i(t) = 3·e^−5/2.2 = 0.3091 A

v_R = R·i = 15·0.3091 = 4.636 V

答案

v_R = 4.636 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 756.4 ms

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 20 + (5 − 20)·e^−t/τ

求解时间

17 = 20 + (−15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (17 − 20)/(5 − 20) = 0.2

t = τ·ln((5 − 20)/(17 − 20)) = 470·ln(5) = 756.4 ms

答案

t = 756.4 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

流过 R₄ 的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用，按每伏计

令 VA 为零

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

输入端的电压

答案

各级的增益

逐级计算

答案

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用，按每伏计

令 V_A 为零

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th