电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

I_s = 1 AV_s = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 Ω

I_x = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VI_s = 1 AV₂ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 10 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 24 VV₂ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 Ω

V_R1 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 36 VV₂ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 20 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VI_s = 1.5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 30 VI_s = 0.5 AV₂ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 9 VI_s = 2 AR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 15。

R₁ = 4.7 kΩA_v = 15

R_f = kΩ

12.运放电路困难

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。电阻比不匹配。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.8 VV₂ = −1.5 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 10 kΩR₃ = 2 kΩR₄ = 22 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时的电流 i。

V_s = 6 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 9 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 8.1 V 时它必须触发，恰好在开始后 250 ms。已知 R = 100 kΩ，求所需的电容 C。

V_s = 9 VV_th = 8.1 VT = 250 msR = 100 kΩ

C = µF

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.7018 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 3·9/(3+9) = 2.25 Ω

R_eq = R₁ + 2.25 = 12 + 2.25 = 14.25 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14.25 = 0.7018 A

答案

I_R1 = 0.7018 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.4888 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 8 + 10 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 9.474 Ω

R₃ + 9.474 = 29.47 Ω

R₂ ∥ 29.47 = 4.275 Ω

R_eq = R₁ + 4.275 = 8 + 4.275 = 12.27 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/12.27 = 0.4888 A

答案

I_R1 = 0.4888 A

3.节点分析

答案: I_x = 1.333 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 10

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/10 + (V_A + 10)/5 = 1

V_A = (1 − 10/5)/(1/10 + 1/5) = −3.333 V

V_B = −3.333 + 10 = 6.667 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

I_x = V_B/R₂ = 6.667/5 = 1.333 A

答案

I_x = 1.333 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_R1 = 1.641 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 15 V, V₂ = −12 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/6 + (V_A − 15)/5 + (V_A − V_B)/30 = 0

0.4·V_A − 0.03333·V_B = 3

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/10 + (V_B − V_A)/30 + (V_B − (−12))/10 = (−1)

−0.03333·V_A + 0.2333·V_B = −2.2

求解

Δ = (0.4)(0.2333) − (−0.03333)(−0.03333) = 0.09222

V_A = Δ₁/Δ = 0.6267/0.09222 = 6.795 V

V_B = Δ₂/Δ = −0.78/0.09222 = −8.458 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (15 − 6.795)/5 = 1.641 A

5.网孔分析

答案: V_R1 = 3.429 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 24

12·I₁ − 10·I₂ = 24

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

10·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−24)

−10·I₁ + 20·I₂ = −24

求解

Δ = (12)(20) − (−10)(−10) = 140

I₁ = Δ₁/Δ = 240/140 = 1.714 A

I₂ = Δ₂/Δ = −48/140 = −0.3429 A

答案

I_R1 = I₁ = 1.714 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 1.714·2 = 3.429 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = 0.3179 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 5(I₁ − I₂) = 36

9·I₁ − 5·I₂ = 36

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

3·I₂ + 5(I₂ − I₁) + 20(I₂ − I₃) = 0

−5·I₁ + 28·I₂ − 20·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 20(I₃ − I₂) = (−12)

−20·I₂ + 28·I₃ = −12

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2756

I₁ = Δ₁/Δ = 12624/2756 = 4.581 A

I₂ = Δ₂/Δ = 2880/2756 = 1.045 A

I₃ = Δ₃/Δ = 876/2756 = 0.3179 A

答案

I₃ = 0.3179 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = 0.44 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 10+2 = 12 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω

V_A = 9·6.667/(10+6.667) = 3.6 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 3.6·2/12 = 0.6 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (9 − 3.6)/10 = 0.54 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 2 ∥ 16 = 1.778 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1.5·1.778 = 2.667 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 2.667·6/16 = 1 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 1)/10 = −0.1 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 0.54 + (−0.1) = 0.44 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: I_R2 = −0.9451 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 6 ∥ 20 = 4.615 Ω

V_A = 30·4.615/(8+4.615) = 10.98 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 10.98·10/20 = 5.488 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (10.98 − 5.488)/10 = 0.5488 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 3.429 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.429 = 13.43 Ω

R_eq = R₄ ∥ 13.43 = 5.732 Ω

V_B = I_s·R_eq = 0.5·5.732 = 2.866 V

V_A = V_B·3.429/13.43 = 0.7317 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (0.7317 − 2.866)/10 = −0.2134 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 30·13.43/23.43 = 17.2 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 17.2·3.429/13.43 = 4.39 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (4.39 − 17.2)/10 = −1.28 A

叠加各分量

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴

I_R2 = 0.5488 + (−0.2134) + (−1.28) = −0.9451 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 4 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 10·5/(10+5) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 2 = 5.333 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·5/(10+5) = 4 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = 2.122 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·5/(4+5) = 2.222 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.222 + 4 = 6.222 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5 + 2·2.222 = 9.444 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9.444 + 2·4 = 17.44 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 17.44/(6.222 + 2) = 2.122 A

11.运放电路

答案: R_f = 65.8 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (15 − 1)·4.7 = 65.8 kΩ

答案

R_f = 65.8 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = −0.4707 V

+ 输入端的电压

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −1.5·22/(2 + 22) = −1.375 V

叠加两个输入

V₂ = 0 时，V₁ 看到的是反相放大器。V₁ = 0 时，V₊ 被同相增益 1 + R₂/R₁ 放大。

V_out = −(10/4.7)·(−1.8) + (1 + 10/4.7)·(−1.375) = 3.83 + (−4.301) = −0.4707 V

答案

V_out = −0.4707 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1213 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4.545 ms

i(∞) = V_s/R = 6/33 = 0.1818 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.1818·(1 − e^−5/4.545) = 0.1213 A

答案

i = 0.1213 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: C = 1.086 µF

所需的时间常数

8.1 = 9·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 8.1))

τ = 250/2.303 = 108.6 ms

电容

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

C = τ/R = 108.6/100 = 1.086 µF

答案

C = 1.086 µF

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

+ 输入端的电压

叠加两个输入

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

所需的时间常数

电容

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th