电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

I_s = 3 AV_s = 4 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 Ω

I_x = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

V₁ = 10 VI_s = 3 AV₂ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 30 Ω

V_B = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 15 VV₂ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₁ 两端按图示极性的电压 V_R1。

V₁ = 30 VV₂ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 4 Ω

V_R1 = V

7.叠加定理中等

求使流过 R₃ 的电流 I_R3 为零的电流源 I_s 的值（方向如图所示）。

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_s = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 24 VI_s = 2 AV₂ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 15 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 12 VI_s = 0.5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

差分放大器使用采用 ±15 V 电源的理想运放，其中 R₃ = R₁，R₄ = R₂。求输出电压 V_out。

V₁ = −1.8 VV₂ = 0.9 VR₁ = R₃ = 22 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

两个理想运放级级联连接：一个反相放大器（R₁，R_f1），后接一个同相放大器（R₂ 接地，R_f2 在反馈支路中）。两级都采用 ±15 V 电源。求总电压增益 A_v = V_out/V_in。

R₁ = 2 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 22 kΩR_f2 = 47 kΩ

A_v =

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 20 VR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 300 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 100 µFt = 300 ms

i₂ = mA

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 15.5 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 15·15/(15+15) = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 8 + 7.5 = 15.5 Ω

答案

R_eq = 15.5 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.329 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 6 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 1.826 Ω

R₃ + 1.826 = 6.826 Ω

R₂ ∥ 6.826 = 2.522 Ω

R_eq = R₁ + 2.522 = 5 + 2.522 = 7.522 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7.522 = 1.329 A

答案

I_R1 = 1.329 A

3.节点分析

答案: I_x = 1.829 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 4

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/20 + (V_A + 4)/15 = 3

V_A = (3 − 4/15)/(1/20 + 1/15) = 23.43 V

V_B = 23.43 + 4 = 27.43 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

I_x = V_B/R₂ = 27.43/15 = 1.829 A

答案

I_x = 1.829 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_B = −2.55 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V, V₂ = 18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/2 + (V_A − 10)/2 + (V_A − V_B)/3 = 0

1.333·V_A − 0.3333·V_B = 5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/30 + (V_B − V_A)/3 + (V_B − 18)/20 = (−3)

−0.3333·V_A + 0.4167·V_B = −2.1

求解

Δ = (1.333)(0.4167) − (−0.3333)(−0.3333) = 0.4444

V_A = Δ₁/Δ = 1.383/0.4444 = 3.112 V

V_B = Δ₂/Δ = −1.133/0.4444 = −2.55 V

答案

V_B = −2.55 V

5.网孔分析

答案: I_R2 = −1.038 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 12(I₁ − I₂) = 15

22·I₁ − 12·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 12(I₂ − I₁) = (−18)

−12·I₁ + 16·I₂ = −18

求解

Δ = (22)(16) − (−12)(−12) = 208

I₁ = Δ₁/Δ = 24/208 = 0.1154 A

I₂ = Δ₂/Δ = −216/208 = −1.038 A

答案

I_R2 = I₂ = −1.038 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R1 = 22.81 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 4(I₁ − I₂) = 30

24·I₁ − 4·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

6·I₂ + 4(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−4·I₁ + 14·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−18)

−4·I₂ + 6·I₃ = −18

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 1536

I₁ = Δ₁/Δ = 1752/1536 = 1.141 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1008/1536 = −0.6563 A

I₃ = Δ₃/Δ = −5280/1536 = −3.438 A

答案

I_R1 = I₁ = 1.141 A

V_R1 = I_R1·R₁ = 1.141·20 = 22.81 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_s = 0.375 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 12+8 = 20 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 10·20/(10+20) = 6.667 Ω

V_A = 9·6.667/(20+6.667) = 2.25 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.25·8/20 = 0.9 V

I_R3′ = (V_A − V_B)/R₃ = (2.25 − 0.9)/12 = 0.1125 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，所以 R₁ ∥ R₂ 接在 A 与地之间。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和支路 R₃ + R₁∥R₂；流过 R₃ 的部分从 B 流向 A，与箭头方向相反。

R₁ ∥ R₂ = 6.667 Ω

I_R3″ = −I_s·R₄/(R₄ + R₃ + R₁∥R₂) = −I_s·8/26.67 = −0.3·I_s

令总和为零

I_R3′ + I_R3″ = 0.1125 − 0.3·I_s = 0

I_s = 0.1125/0.3 = 0.375 A

答案

I_s = 0.375 A

8.叠加定理

答案: V_R2 = −9.143 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 5 ∥ 15 = 3.75 Ω

V_A = 24·3.75/(5+3.75) = 10.29 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 10.29·10/15 = 6.857 V

V_R2′ = V_A − V_B = 10.29 − 6.857 = 3.429 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 2.5 Ω，所以左侧路径为 R₂+2.5 = 7.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ 7.5 = 4.286 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2·4.286 = 8.571 V

V_A = V_B·2.5/7.5 = 2.857 V

V_R2″ = V_A − V_B = 2.857 − 8.571 = −5.714 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 5·5/(5+5) = 2.5 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 24·7.5/17.5 = 10.29 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 10.29·2.5/7.5 = 3.429 V

V_R2‴ = V_A − V_B = 3.429 − 10.29 = −6.857 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = 3.429 + (−5.714) + (−6.857) = −9.143 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 17.4 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·3/(12+3) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 15 = 17.4 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 2.989 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 3 = 13 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6 + 0.5·10 = 11 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 11 + 0.5·3 = 12.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 12.5/(13 + 15) = 0.4464 A

P_L = I_L²·R_L = 0.4464²·15 = 2.989 W

11.运放电路

答案: V_out = 1.227 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

输入端的电压

R₃ 和 R₄ 流过相同的电流，所以构成分压器；反馈使 V₋ = V₊。

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0.9·10/(22 + 10) = 0.2813 V

V₋ = V₊

反相输入端的 KCL

(−1.8 − 0.2813)/22 = (0.2813 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/22)·(0.9 − (−1.8)) = 1.227 V

答案

V_out = 1.227 V

12.运放电路

答案: A_v = −34.5

各级的增益

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/2 = −11

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 47/22 = 3.136

总增益

A_v = A₁·A₂ = −11·3.136 = −34.5

答案

A_v = −34.5

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1762 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0.47 ms

i(∞) = V_s/R = 20/100 = 0.2 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.2·(1 − e^−1/0.47) = 0.1762 A

答案

i = 0.1762 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 2.02 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 30·10/(1 + 10) = 27.27 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 10·100 = 1000 ms

放电

v_C(t) = 27.27·e^−300/1000 = 20.2 V

i₂ = v_C/R₂ = 20.2/10 = 2.02 mA

答案

i₂ = 2.02 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

令总和为零

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

输入端的电压

反相输入端的 KCL

答案

各级的增益

总增益

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th