电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 9 VI_s = 2 AR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

菱形符号是一个电压控制电流源，它向上注入节点 B 的电流为 0.5·V_A（单位 A，V_A 单位为 V）。用节点分析法求沿箭头方向流过 R₄ 的电流 I_R4。

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ωg = 0.5 A/V

I_R4 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 12 VV₂ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 Ω

I_R2 = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 10 VV₂ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 Ω

I₁ = A

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 10 V、I_s = 10 mA 时，I = 2.5 mA；V_s = 4 V、I_s = 10 mA 时，I = −3.5 mA。求 V_s = 12 V、I_s = 8 mA 时的负载电流 I。

10 V, 10 mA → 2.5 mA4 V, 10 mA → −3.5 mAV_s = 12 V, I_s = 8 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 18 VI_s = 1 AV₂ = 5 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 12 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 25 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 15。

R₁ = 22 kΩA_v = 15

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求流过反馈电阻、流向输出端的电流 I_f。

V₁ = 0.9 VV₂ = 1.2 VR₁ = 10 kΩR₂ = 100 kΩR_f = 100 kΩ

I_f = mA

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

V_s = 24 VR = 47 ΩL = 68 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 15 ms 时的电感电流 i。

V_s = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩL = 100 mHt = 15 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R2 = 0.25 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 20·6/(20+6) = 4.615 Ω

R_eq = R₁ + 4.615 = 12 + 4.615 = 16.62 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/16.62 = 1.083 A

流过 R₂ 的电流

减去 R₁ 上的压降得到节点 A 的电压，即 R₂ 两端的电压。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.083·12 = 5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5/20 = 0.25 A

答案

I_R2 = 0.25 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.11 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 15 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 9.744 Ω

R₃ + 9.744 = 14.74 Ω

R₂ ∥ 14.74 = 6.616 Ω

R_eq = R₁ + 6.616 = 15 + 6.616 = 21.62 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 24/21.62 = 1.11 A

答案

I_R1 = 1.11 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.6437 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 9)/10 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.6333·V_A − 0.2·V_B = 0.9

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/5 + (V_B − V_A)/5 = 2

−0.2·V_A + 0.4·V_B = 2

求解

Δ = (0.6333)(0.4) − (−0.2)(−0.2) = 0.2133

V_A = Δ₁/Δ = 0.76/0.2133 = 3.563 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.447/0.2133 = 6.781 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (3.563 − 6.781)/5 = −0.6437 A

4.节点分析

答案: I_R4 = 1.062 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

经电阻从 A 流出的电流等于电源注入 A 的电流。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

0.5167·V_A − 0.08333·V_B = 0.9

节点 B 的 KCL

受控源向节点 B 注入 g·V_A。把它当作独立源处理，然后把含 V_A 的项移到左边。

(V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = 0.5·V_A

−0.5833·V_A + 0.3333·V_B = 0

求解

Δ = (0.5167)(0.3333) − (−0.08333)(−0.5833) = 0.1236

V_A = Δ₁/Δ = 0.3/0.1236 = 2.427 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.525/0.1236 = 4.247 V

流过 R₄ 的电流

I_R4 = V_B/R₄ = 4.247/4 = 1.062 A

答案

I_R4 = 1.062 A

5.网孔分析

答案: I_R2 = −0.05333 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

5·I₁ + 15(I₁ − I₂) = 12

20·I₁ − 15·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 15(I₂ − I₁) = (−10)

−15·I₁ + 30·I₂ = −10

求解

Δ = (20)(30) − (−15)(−15) = 375

I₁ = Δ₁/Δ = 210/375 = 0.56 A

I₂ = Δ₂/Δ = −20/375 = −0.05333 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.05333 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₁ = 0.572 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

12·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 10

15·I₁ − 3·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 4(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 12·I₂ − 4·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

10·I₃ + 4(I₃ − I₂) = (−24)

−4·I₂ + 14·I₃ = −24

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 2154

I₁ = Δ₁/Δ = 1232/2154 = 0.572 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1020/2154 = −0.4735 A

I₃ = Δ₃/Δ = −3984/2154 = −1.85 A

答案

I₁ = 0.572 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 6 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

10·k₁ + 10·k₂ = 2.5

4·k₁ + 10·k₂ = −3.5

求常数

Δ = (10)(10) − (10)(4) = 60

k₁ = Δ₁/Δ = 60/60 = 1

k₂ = Δ₂/Δ = −45/60 = −0.75

k₁ = 1 mA/V, k₂ = −0.75

预测新的电流

I = 1·12 + (−0.75)·8 = 6 mA

答案

I = 6 mA

8.叠加定理

答案: I_R3 = 1.188 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 5 ∥ 10 = 3.333 Ω

V_A = 18·3.333/(25+3.333) = 2.118 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2.118·8/10 = 1.694 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (2.118 − 0)/5 = 0.4235 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 4.167 Ω，所以左侧路径为 R₂+4.167 = 6.167 Ω

R_eq = R₄ ∥ 6.167 = 3.482 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·3.482 = 3.482 V

V_A = V_B·4.167/6.167 = 2.353 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (2.353 − 0)/5 = 0.4706 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 25·5/(25+5) = 4.167 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 5·6.167/14.17 = 2.176 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 2.176·4.167/6.167 = 1.471 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (1.471 − 0)/5 = 0.2941 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = 0.4235 + 0.4706 + 0.2941 = 1.188 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 18 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 4·6/(4+6) = 2.4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.4 + 3 = 5.4 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·6/(4+6) = 18 V

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = 1.276 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 25 = 29 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8 + 1·4 = 12 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 12 + 1·25 = 37 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 37/29 = 1.276 A

11.运放电路

答案: R_f = 308 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (15 − 1)·22 = 308 kΩ

答案

R_f = 308 kΩ

12.运放电路

答案: I_f = 0.102 mA

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.9/10 = 0.09 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.2/100 = 0.012 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.102 mA

答案

I_f = 0.102 mA

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 3.331 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms

i(∞) = V_s/R = 24/47 = 0.5106 A

求解时间

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −1.447·ln(0.1) = 3.331 ms

答案

t = 3.331 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.021 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 12/(10 + 20) = 0.4 A

i(∞) = 12/10 = 1.2 A

τ = L/R = 100/10 = 10 ms

i(t) = 1.2 + (0.4 − 1.2)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(15) = 1.2 + (−0.8)·e^−15/10 = 1.021 A

答案

i = 1.021 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

流过 R₂ 的电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

流过 R₄ 的电流

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

同相放大器的增益

答案

输入电流

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th