电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 5 VR₁ = 5 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求节点电压 V_B（相对于地）。

I_s = 5 AV_s = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 Ω

V_B = V

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 36 VI_s = 2.5 AV₂ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 Ω

I_R1 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 30 VV₂ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 Ω

V_R2 = V

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VV₂ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 Ω

I_R1 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VI_s = 2.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 36 VI_s = 4 AV₂ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 V_th。

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 3 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 6 VI_s = 2.5 AR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 3 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = 0.7 VR₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 0.5 VV₂ = 1.4 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 5 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 2 AR = 22 ΩL = 150 mHt = 5 ms

v_R = V

14.RC 和 RL 暂态困难

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。求 t = 10 ms 时流过 R₂ 的电流 i₂。

V_s = 6 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 10 ms

i₂ = mA

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 4.636 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 6 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 2·9/(2+9) = 1.636 Ω

R_eq = R₁ + 1.636 = 3 + 1.636 = 4.636 Ω

答案

R_eq = 4.636 Ω

2.串并联电阻

答案: R_eq = 10.38 Ω

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 6 + 4 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 2.857 Ω

R₃ + 2.857 = 6.857 Ω

R₂ ∥ 6.857 = 5.381 Ω

R_eq = R₁ + 5.381 = 5 + 5.381 = 10.38 Ω

答案

R_eq = 10.38 Ω

3.节点分析

答案: V_B = 13.71 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 12

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/4 + (V_A + 12)/3 = 5

V_A = (5 − 12/3)/(1/4 + 1/3) = 1.714 V

V_B = 1.714 + 12 = 13.71 V

答案

V_B = 13.71 V

4.节点分析

答案: I_R1 = 4.28 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 36 V, V₂ = −18 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/8 + (V_A − 36)/5 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.575·V_A − 0.25·V_B = 7.2

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/12 + (V_B − V_A)/4 + (V_B − (−18))/5 = 2.5

−0.25·V_A + 0.5333·V_B = −1.1

求解

Δ = (0.575)(0.5333) − (−0.25)(−0.25) = 0.2442

V_A = Δ₁/Δ = 3.565/0.2442 = 14.6 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.167/0.2442 = 4.782 V

答案

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (36 − 14.6)/5 = 4.28 A

5.网孔分析

答案: V_R2 = −6 V

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

4·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 30

6·I₁ − 2·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

4·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−18)

−2·I₁ + 6·I₂ = −18

求解

Δ = (6)(6) − (−2)(−2) = 32

I₁ = Δ₁/Δ = 144/32 = 4.5 A

I₂ = Δ₂/Δ = −48/32 = −1.5 A

答案

I_R2 = I₂ = −1.5 A

V_R2 = I_R2·R₂ = −1.5·4 = −6 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R1 = 0.5737 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

8·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 15

33·I₁ − 25·I₂ = 15

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

6·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 25(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 56·I₂ − 25·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

25·I₃ + 25(I₃ − I₂) = (−15)

−25·I₂ + 50·I₃ = −15

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 40525

I₁ = Δ₁/Δ = 23250/40525 = 0.5737 A

I₂ = Δ₂/Δ = 6375/40525 = 0.1573 A

I₃ = Δ₃/Δ = −8970/40525 = −0.2213 A

答案

I_R1 = I₁ = 0.5737 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I_R1 = 1.049 A

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 15+8 = 23 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 4·23/(4+23) = 3.407 Ω

V_A = 9·3.407/(8+3.407) = 2.688 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 2.688·8/23 = 0.9351 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (9 − 2.688)/8 = 0.789 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 8·4/(8+4) = 2.667 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 17.67 = 5.506 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−2.5)·5.506 = −13.77 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = −13.77·2.667/17.67 = −2.078 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − −2.078)/8 = 0.2597 A

叠加各分量

I_R1 = I_R1′ + I_R1″

I_R1 = 0.789 + 0.2597 = 1.049 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

8.叠加定理

答案: V_R2 = −1.068 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 6 ∥ 18 = 4.5 Ω

V_A = 36·4.5/(25+4.5) = 5.492 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 5.492·6/18 = 1.831 V

V_R2′ = V_A − V_B = 5.492 − 1.831 = 3.661 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 4.839 Ω，所以左侧路径为 R₂+4.839 = 16.84 Ω

R_eq = R₄ ∥ 16.84 = 4.424 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·4.424 = 17.69 V

V_A = V_B·4.839/16.84 = 5.085 V

V_R2″ = V_A − V_B = 5.085 − 17.69 = −12.61 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 25·6/(25+6) = 4.839 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−15)·16.84/22.84 = −11.06 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −11.06·4.839/16.84 = −3.178 V

V_R2‴ = V_A − V_B = −3.178 − −11.06 = 7.881 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = 3.661 + (−12.61) + 7.881 = −1.068 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: V_th = 1.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·3/(15+3) = 2.5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.5 + 15 = 17.5 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·3/(15+3) = 1.5 V

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 14.97 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·10/(12+10) = 5.455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.455 + 30 = 35.45 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2.727 + (−2.5)·5.455 = −10.91 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −10.91 + (−2.5)·30 = −85.91 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −85.91/(35.45 + 3) = −2.234 A

P_L = I_L²·R_L = −2.234²·3 = 14.97 W

11.运放电路

答案: V_out = 2.195 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = 0.7 V

I = V₋/R₁ = 0.7/22 = 0.03182 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = 0.7 + 0.03182·47 = 2.195 V

答案

V_out = 2.195 V

12.运放电路

答案: V_out = −6.4 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 0.5/4.7 = 0.1064 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1.4/47 = 0.02979 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.1362 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −47·0.1362 = −6.4 V

答案

V_out = −6.4 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 21.13 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms

电流的衰减

i(t) = 2·e^−5/6.818 = 0.9606 A

v_R = R·i = 22·0.9606 = 21.13 V

答案

v_R = 21.13 V

14.RC 和 RL 暂态

答案: i₂ = 0.6681 mA

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

v_C(0) = 6·1/(4.7 + 1) = 1.053 V

开关断开后的时间常数

τ = R₂·C = 1·22 = 22 ms

放电

v_C(t) = 1.053·e^−10/22 = 0.6681 V

i₂ = v_C/R₂ = 0.6681/1 = 0.6681 mA

答案

i₂ = 0.6681 mA

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

答案

构成超节点

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数

电流的衰减

答案

电容的初始电压

开关断开后的时间常数

放电

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th