电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

如图所示，节点 A 与地之间连接了三条支路。用节点分析法求支路 1 中沿箭头方向向上流入节点 A 的电流 I₁。

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩV₂ = 15 VR₂ = 6 ΩV₃ = 12 VR₃ = 8 Ω

I₁ = A

4.节点分析困难

用节点分析法求节点电压 V_A（相对于地）。

V₁ = 9 VI_s = 6 AV₂ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 6 Ω

V_A = V

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₁（顺时针）。

V₁ = 30 VV₂ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 Ω

I₁ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VV₂ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 Ω

I_R2 = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₄ 吸收的功率 P_R4。

V₁ = 15 VI_s = 1 AR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

P_R4 = W

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₁ 吸收的功率 P_R1。

V₁ = 12 VI_s = 1 AV₂ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

P_R1 = W

9.戴维南和诺顿中等

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 R_th。

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

10.戴维南和诺顿困难

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 12 VI_s = 1.5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 Ω

I_N = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −1.5 VR₁ = 22 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = 3 V 时，电容未充电。求 t = 100 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = 3 VR = 22 kΩC = 2.2 µFV_sat = ±13 Vt = 100 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

V_s = 12 VR = 68 ΩL = 220 mH

t = ms

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。 t = 0 之后多长时间电感电流达到 0.261 A？求 t。

V_s = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩL = 150 mH

t = ms

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.75 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 5·20/(5+20) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 8 + 4 = 12 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/12 = 0.75 A

答案

I_R1 = 0.75 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.5634 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 9.375 Ω

R₃ + 9.375 = 19.38 Ω

R₂ ∥ 19.38 = 3.974 Ω

R_eq = R₁ + 3.974 = 12 + 3.974 = 15.97 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/15.97 = 0.5634 A

答案

I_R1 = 0.5634 A

3.节点分析

答案: I₁ = 1.373 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

取底部导线为地。每条支路从 A 流出的电流为 (V_A − V_k)/R_k，其中 V_k 为该支路电源的电压（纯电阻支路为零）。从 A 流出的电流之和为零。

(V_A − 15)/5 + (V_A − 15)/6 + (V_A − (−12))/8 = 0

求 V_A

V_A = (15/5 + 15/6 + (−12)/8) / (1/5 + 1/6 + 1/8) = 4/0.4917 = 8.136 V

支路电流

箭头沿支路向上，指向节点 A。

I₁ = (15 − V_A)/R₁ = (15 − 8.136)/5 = 1.373 A

答案

I₁ = 1.373 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: V_A = −5.396 V

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 9 V, V₂ = −10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/4 + (V_A − 9)/15 + (V_A − V_B)/5 = 0

0.5167·V_A − 0.2·V_B = 0.6

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/5 + (V_B − (−10))/8 = (−6)

−0.2·V_A + 0.4917·V_B = −7.25

求解

Δ = (0.5167)(0.4917) − (−0.2)(−0.2) = 0.214

V_A = Δ₁/Δ = −1.155/0.214 = −5.396 V

V_B = Δ₂/Δ = −3.626/0.214 = −16.94 V

答案

V_A = −5.396 V

5.网孔分析

答案: I₁ = 0.4737 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 10(I₁ − I₂) = 30

30·I₁ − 10·I₂ = 30

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

6·I₂ + 10(I₂ − I₁) = (−30)

−10·I₁ + 16·I₂ = −30

求解

Δ = (30)(16) − (−10)(−10) = 380

I₁ = Δ₁/Δ = 180/380 = 0.4737 A

I₂ = Δ₂/Δ = −600/380 = −1.579 A

答案

I₁ = 0.4737 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I_R2 = −0.2155 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 5

4·I₁ − 2·I₂ = 5

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

15·I₂ + 2(I₂ − I₁) + 10(I₂ − I₃) = 0

−2·I₁ + 27·I₂ − 10·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

5·I₃ + 10(I₃ − I₂) = (−10)

−10·I₂ + 15·I₃ = −10

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 1160

I₁ = Δ₁/Δ = 1325/1160 = 1.142 A

I₂ = Δ₂/Δ = −250/1160 = −0.2155 A

I₃ = Δ₃/Δ = −940/1160 = −0.8103 A

答案

I_R2 = I₂ = −0.2155 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: P_R4 = 5.649 W

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 5+8 = 13 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·13/(3+13) = 2.438 Ω

V_A = 15·2.438/(5+2.438) = 4.916 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4.916·8/13 = 3.025 V

I_R4′ = (V_B − 0)/R₄ = (3.025 − 0)/8 = 0.3782 A

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 5·3/(5+3) = 1.875 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 8 ∥ 6.875 = 3.697 Ω

V_B = I_s·R_eq = 1·3.697 = 3.697 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 3.697·1.875/6.875 = 1.008 V

I_R4″ = (V_B − 0)/R₄ = (3.697 − 0)/8 = 0.4622 A

把电流的各个贡献相加

I_R4 = I_R4′ + I_R4″ = 0.3782 + 0.4622 = 0.8403 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R4 = I_R4²·R₄ = 0.8403²·8 = 5.649 W

答案

P_R4 = 5.649 W

把各单独情况下的功率相加会得到 2.853 W，这是错误的。

8.叠加定理

答案: P_R1 = 6.4 W

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 6 ∥ 15 = 4.286 Ω

V_A = 12·4.286/(10+4.286) = 3.6 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 3.6·10/15 = 2.4 V

I_R1′ = (V₁ − V_A)/R₁ = (12 − 3.6)/10 = 0.84 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。 Iₛ 的箭头向下，背离其节点，所以 Iₛ 从该节点抽出电流：其项带负号。

R₁ ∥ R₃ = 3.75 Ω，所以左侧路径为 R₂+3.75 = 8.75 Ω

R_eq = R₄ ∥ 8.75 = 4.667 Ω

V_B = −I_s·R_eq = −1·4.667 = −4.667 V

V_A = V_B·3.75/8.75 = −2 V

I_R1″ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − −2)/10 = 0.2 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 10·6/(10+6) = 3.75 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 12·8.75/18.75 = 5.6 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 5.6·3.75/8.75 = 2.4 V

I_R1‴ = (V₁ − V_A)/R₁ = (0 − 2.4)/10 = −0.24 A

把电流的各个贡献相加

I_R1 = I_R1′ + I_R1″ + I_R1‴ = 0.84 + 0.2 + (−0.24) = 0.8 A

电阻中的功率

功率取决于电流的平方，所以不满足叠加定理：先把电流相加，再取平方。

P_R1 = I_R1²·R₁ = 0.8²·10 = 6.4 W

答案

P_R1 = 6.4 W

把各单独情况下的功率相加会得到 8.032 W，这是错误的。

9.戴维南和诺顿

答案: R_th = 17.22 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.217 + 12 = 17.22 Ω

10.戴维南和诺顿

答案: I_N = −1.294 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·3/(5+3) = 1.875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.875 + 20 = 21.88 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.5 + (−1.5)·1.875 = 1.688 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 1.688 + (−1.5)·20 = −28.31 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = −28.31/21.88 = −1.294 A

11.运放电路

答案: V_out = −8.318 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

反相输入端跟随输入

V₋ = V₊ = −1.5 V

I = V₋/R₁ = −1.5/22 = −0.06818 mA

输出电压

流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₋ + I·R_f = −1.5 + (−0.06818)·100 = −8.318 V

答案

V_out = −8.318 V

12.运放电路

答案: V_out = −6.198 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 22 kΩ · 2.2 µF = 48.4 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −3/48.4 = −0.06198 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −3·100/48.4 = −6.198 V

答案

V_out = −6.198 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: t = 7.45 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3.235 ms

i(∞) = V_s/R = 12/68 = 0.1765 A

求解时间

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −3.235·ln(0.1) = 7.45 ms

答案

t = 7.45 ms

14.RC 和 RL 暂态

答案: t = 8.947 ms

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 6/(20 + 15) = 0.1714 A

i(∞) = 6/20 = 0.3 A

τ = L/R = 150/20 = 7.5 ms

i(t) = 0.3 + (0.1714 − 0.3)·e^−t/τ

求解时间

e^−t/τ = (0.261 − 0.3)/(0.1714 − 0.3) = 0.3033

t = 7.5·ln(3.297) = 8.947 ms

答案

t = 8.947 ms

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

节点 A 的 KCL

求 VA

支路电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

把电流的各个贡献相加

电阻中的功率

答案

将所有电源置零，求 Rth

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

反相输入端跟随输入

输出电压

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

求解时间

答案

初始值、终值、时间常数

求解时间

答案

求 V_A

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th