电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 5 VR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

A 与 B 之间的电压源 Vₛ 的 + 端在 B，所以它使 V_B − V_A = Vₛ。用含超节点的节点分析法求流过电压源的电流 I_x，方向如箭头所示从 A 到 B。

I_s = 5 AV_s = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 Ω

I_x = A

4.节点分析困难

调节电流源，使节点 A 的电压为 V_A = 7 V。用节点分析法求电源电流 I_s（方向如图所示）。

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 ΩV_A = 7 V

I_s = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 12 VV₂ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求 R₅ 两端按图示极性的电压 V_R5。

V₁ = 18 VV₂ = 36 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 12 Ω

V_R5 = V

7.叠加定理中等

一个线性电阻电路含有一个电压源 V_s 和一个电流源 I_s。流过负载电阻的电流 I 测量了两次：V_s = 5 V、I_s = 5 mA 时，I = 3.5 mA；V_s = 20 V、I_s = 1 mA 时，I = 10.2 mA。求 V_s = 10 V、I_s = 8 mA 时的负载电流 I。

5 V, 5 mA → 3.5 mA20 V, 1 mA → 10.2 mAV_s = 10 V, I_s = 8 mA

I = mA

8.叠加定理困难

用叠加定理求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 5 VI_s = 1 AV₂ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

I_R3 = A

9.戴维南和诺顿中等

在 a–b 之间接入负载 R_L = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 10 Ω

I_L = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 4 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 6 VI_s = 6 AR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 4 Ω

I_L = A

11.运放电路中等

运放为理想运放，采用 ±15 V 电源。求输出电压 V_out。

V_in = −0.5 VR_a = 10 kΩR_b = 10 kΩR₁ = 1 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

12.运放电路困难

积分器使用采用 ±15 V 电源的理想运放；其输出饱和电压为 ±13 V。在 t = 0 施加恒定输入 V_in = −0.8 V 时，电容未充电。求 t = 50 ms 时的输出电压 V_out。

V_in = −0.8 VR = 10 kΩC = 4.7 µFV_sat = ±13 Vt = 50 ms

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 1 ms 时的电流 i。

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

一个定时器在 t = 0 时开始用 15 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 7.5 V 时它必须触发，恰好在开始后 1000 ms。已知 C = 22 µF，求所需的电阻 R。

V_s = 15 VV_th = 7.5 VT = 1000 msC = 22 µF

R = kΩ

3溶液

1.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.181 A

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 20·23/(20+23) = 10.7 Ω

R_eq = R₁ + 10.7 = 2 + 10.7 = 12.7 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12.7 = 1.181 A

答案

I_R1 = 1.181 A

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 0.124 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 4 + 15 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 9.744 Ω

R₃ + 9.744 = 15.74 Ω

R₂ ∥ 15.74 = 10.33 Ω

R_eq = R₁ + 10.33 = 30 + 10.33 = 40.33 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 5/40.33 = 0.124 A

答案

I_R1 = 0.124 A

3.节点分析

答案: I_x = 4.783 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

构成超节点

A 与 B 之间的电压源中的电流未知，所以不能分别在 A 或 B 单独列 KCL。把 A、B 和电压源一起包成一个超节点：流入它的电流等于流出它的电流。

V_B = V_A + V_s = V_A + 10

V_A/R₁ + V_B/R₂ = I_s

求解

V_A/20 + (V_A + 10)/3 = 5

V_A = (5 − 10/3)/(1/20 + 1/3) = 4.348 V

V_B = 4.348 + 10 = 14.35 V

流过电压源的电流

从 A 经电压源流到 B 的全部电流都经 R₂ 离开节点 B。

I_x = V_B/R₂ = 14.35/3 = 4.783 A

答案

I_x = 4.783 A

结果为负表示实际电流与箭头方向相反。

4.节点分析

答案: I_s = 1.444 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

节点 A 的 KCL

V_A 已知，所以这个方程给出 V_B。

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(7 − 6)/20 + 7/15 = (V_B − 7)/8

0.5167 = (V_B − 7)/8 → V_B = 11.13 V

节点 B 的 KCL

经电阻从 B 流出的电流等于电源注入 B 的电流。

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (11.13 − 7)/8 + 11.13/12 = 1.444 A

答案

I_s = 1.444 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.1412 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

6·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 12

26·I₁ − 20·I₂ = 12

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−12)

−20·I₁ + 35·I₂ = −12

求解

Δ = (26)(35) − (−20)(−20) = 510

I₁ = Δ₁/Δ = 180/510 = 0.3529 A

I₂ = Δ₂/Δ = −72/510 = −0.1412 A

答案

I₂ = −0.1412 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: V_R5 = 16.51 V

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

20·I₁ + 8(I₁ − I₂) = 18

28·I₁ − 8·I₂ = 18

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

5·I₂ + 8(I₂ − I₁) + 12(I₂ − I₃) = 0

−8·I₁ + 25·I₂ − 12·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 12(I₃ − I₂) = (−36)

−12·I₂ + 20·I₃ = −36

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 8688

I₁ = Δ₁/Δ = 2952/8688 = 0.3398 A

I₂ = Δ₂/Δ = −9216/8688 = −1.061 A

I₃ = Δ₃/Δ = −21168/8688 = −2.436 A

答案

I_R5 = I₂ − I₃ = 1.376 A

V_R5 = I_R5·R₅ = 1.376·12 = 16.51 V

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: I = 6.6 mA

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

把响应写成各贡献之和

每个贡献与其自身的电源成正比，比例常数只与电阻有关。

I = k₁·V_s + k₂·I_s

5·k₁ + 5·k₂ = 3.5

20·k₁ + 1·k₂ = 10.2

求常数

Δ = (5)(1) − (5)(20) = −95

k₁ = Δ₁/Δ = −47.5/−95 = 0.5

k₂ = Δ₂/Δ = −19/−95 = 0.2

k₁ = 0.5 mA/V, k₂ = 0.2

预测新的电流

I = 0.5·10 + 0.2·8 = 6.6 mA

答案

I = 6.6 mA

8.叠加定理

答案: I_R3 = 0.2514 A

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 15 ∥ 33 = 10.31 Ω

V_A = 5·10.31/(8+10.31) = 2.816 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 2.816·3/33 = 0.256 V

I_R3′ = (V_A − 0)/R₃ = (2.816 − 0)/15 = 0.1877 A

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 5.217 Ω，所以左侧路径为 R₂+5.217 = 35.22 Ω

R_eq = R₄ ∥ 35.22 = 2.765 Ω

V_B = I_s·R_eq = (−1)·2.765 = −2.765 V

V_A = V_B·5.217/35.22 = −0.4096 V

I_R3″ = (V_A − 0)/R₃ = (−0.4096 − 0)/15 = −0.0273 A

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 10·35.22/38.22 = 9.215 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 9.215·5.217/35.22 = 1.365 V

I_R3‴ = (V_A − 0)/R₃ = (1.365 − 0)/15 = 0.09101 A

叠加各分量

I_R3 = I_R3′ + I_R3″ + I_R3‴

I_R3 = 0.1877 + (−0.0273) + 0.09101 = 0.2514 A

结果为负表示实际上电流与箭头方向相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_L = 0.08824 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 4 = 7 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·4/(12+4) = 1.5 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 1.5/(7 + 10) = 0.08824 A

10.戴维南和诺顿

答案: I_L = −4.385 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 5·10/(5+10) = 3.333 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.333 + 10 = 13.33 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4 + (−6)·3.333 = −16 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −16 + (−6)·10 = −76 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −76/(13.33 + 4) = −4.385 A

11.运放电路

答案: V_out = −12 V

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

+ 输入端的电压

V₊ = V_in·R_b/(R_a + R_b) = −0.5·10/(10 + 10) = −0.25 V

同相增益

V₋ = V₊，流过 R₁ 的电流也流过 R_f。

V_out = V₊·(1 + R_f/R₁) = −0.25·(1 + 47/1) = −12 V

答案

V_out = −12 V

12.运放电路

答案: V_out = 0.8511 V

输入电流和斜坡速率

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

RC = 10 kΩ · 4.7 µF = 47 ms

斜坡速率 = −V_in/(RC) = −(−0.8)/47 = 0.01702 V/ms

给定时刻的输出

理想值在 ±V_sat 以内，所以积分器尚未限幅。

V_out = −V_in·t/(RC) = −(−0.8)·50/47 = 0.8511 V

答案

V_out = 0.8511 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.07858 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0.94 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0.12 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.12·(1 − e^−1/0.94) = 0.07858 A

答案

i = 0.07858 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: R = 65.58 kΩ

所需的时间常数

7.5 = 15·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 7.5))

τ = 1000/0.6931 = 1443 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 1443/22 = 65.58 kΩ

答案

R = 65.58 kΩ

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

构成超节点

求解

流过电压源的电流

答案

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

把响应写成各贡献之和

求常数

预测新的电流

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

+ 输入端的电压

同相增益

答案

输入电流和斜坡速率

给定时刻的输出

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

所需的时间常数

电阻

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th