电路分析（一）：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

串并联电阻

电阻串联: R_eq = R₁ + R₂ + …
电阻并联: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
两个电阻并联: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
欧姆定律: V = I·R
功率: P = V·I = I²R = V²/R

方法

从离端子最远的网络末端开始。
串联电阻直接相加，并联电阻用 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
每一步之后重新画电路。
重复直到端子之间只剩一个电阻。

节点分析

基尔霍夫电流定律: ΣI_in = ΣI_out
支路电流: I = (V_a − V_b)/R
参考节点: V_ground = 0

方法

选定参考节点（地），并标出其他节点电压。
在每个未知节点列基尔霍夫电流定律：流出各支路的电流等于流入的电流。
把每条支路电流表示为 (V_a − V_b)/R。
解方程组，再求出所需的电流。

网孔分析

基尔霍夫电压定律: 沿每个回路 ΣV = 0
公共电阻: 电流 = I₁ − I₂
网孔中的电流源: 直接确定该网孔电流

方法

在电路的每个网孔（窗口）中设一个顺时针电流。
对每个网孔应用基尔霍夫电压定律：电压降之和为零。
两个网孔共用的电阻中，电流为两个网孔电流之差。
解方程；结果为负表示电流实际方向相反。

叠加定理

叠加定理: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
置零的电压源: 短路 (0 V)
置零的电流源: 开路 (0 A)
分压公式: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
分流公式: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

方法

数一数独立电源的个数。每个电源对应求解一个更简单的电路。
保留一个电源，将其他电源置零：电压源用短路（导线）代替，电流源用开路（断开）代替。
在简化后的电路中求所需的电压或电流，并注意其方向。
对每个电源重复上述步骤，再将各分量按符号相加。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

运放电路

反相放大器: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
同相放大器: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
加法放大器: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
理想运放: V₊ = V₋, I_in = 0

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

2练习题

1.串并联电阻中等

求电源 V₁ 看到的等效电阻 R_eq。

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

2.串并联电阻困难

求电源输出并流过 R₁ 的电流 I_R1。

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

3.节点分析中等

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₃ 的电流 I_R3。

V₁ = 10 VI_s = 2.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 Ω

I_R3 = A

4.节点分析困难

用节点分析法求沿箭头方向流过 R₂ 的电流 I_R2。

V₁ = 5 VI_s = 4 AV₂ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 25 Ω

I_R2 = A

5.网孔分析中等

用网孔分析法求网孔电流 I₂（顺时针）。

V₁ = 10 VV₂ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 Ω

I₂ = A

6.网孔分析困难

用网孔分析法求网孔电流 I₃（顺时针）。

V₁ = 10 VV₂ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 6 Ω

I₃ = A

7.叠加定理中等

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 24 VI_s = 4 AR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

V_R2 = V

8.叠加定理困难

用叠加定理求 R₂ 两端按图示极性的电压 V_R2。

V₁ = 15 VI_s = 2.5 AV₂ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

V_R2 = V

9.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

10.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 6 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 P_L。

V₁ = 18 VI_s = 2 AR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

11.运放电路中等

选择反馈电阻 R_f，使该同相放大器的电压增益为 6。

R₁ = 22 kΩA_v = 6

R_f = kΩ

12.运放电路困难

加法放大器使用 ±15 V 供电的理想运放。求输出电压 V_out。

V₁ = 1.7 VV₂ = 0.3 VR₁ = 22 kΩR₂ = 2 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

13.RC 和 RL 暂态中等

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。求 t = 5 ms 时的电流 i。

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

14.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R₂ 短路。求 t = 40 ms 时的电感电流 i。

V_s = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩL = 68 mHt = 40 ms

i = A

3溶液

1.串并联电阻

答案: R_eq = 22.92 Ω

串联和并联电阻：串联时每个电阻流过相同电流，R = R₁ + R₂ + …。并联时每个电阻两端电压相同，1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。梯形网络每次合并一对，直到只剩一个等效电阻。

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₃ + R₄ = 2 + 5 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 5·7/(5+7) = 2.917 Ω

R_eq = R₁ + 2.917 = 20 + 2.917 = 22.92 Ω

答案

R_eq = 22.92 Ω

2.串并联电阻

答案: I_R1 = 1.402 A

从远端开始合并电阻

从离电源最远的一端开始，逐步向电源合并。流过相同电流的电阻为串联；接在同一对节点之间的电阻为并联。

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 1.818 Ω

R₃ + 1.818 = 31.82 Ω

R₂ ∥ 31.82 = 6.393 Ω

R_eq = R₁ + 6.393 = 15 + 6.393 = 21.39 Ω

电源电流

电源只看到 R_eq，由欧姆定律得到它输出的电流。该电流流过 R₁。

I_R1 = V₁/R_eq = 30/21.39 = 1.402 A

答案

I_R1 = 1.402 A

3.节点分析

答案: I_R3 = −0.05319 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 10 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/6 + (V_A − 10)/8 + (V_A − V_B)/8 = 0

0.4167·V_A − 0.125·V_B = 1.25

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/2 + (V_B − V_A)/8 = 2.5

−0.125·V_A + 0.625·V_B = 2.5

求解

Δ = (0.4167)(0.625) − (−0.125)(−0.125) = 0.2448

V_A = Δ₁/Δ = 1.094/0.2448 = 4.468 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.198/0.2448 = 4.894 V

答案

I_R3 = (V_A − V_B)/R₃ = (4.468 − 4.894)/8 = −0.05319 A

4.节点分析

答案: I_R2 = −3.542 A

节点分析法：选定参考节点，标出未知节点电压，利用欧姆定律 (I = ΔV/R) 在每个未知节点列基尔霍夫电流定律方程，并求解方程组。

设定节点

地为底部导线。已知节点电压直接来自电源（V₁ = 5 V, V₂ = 24 V）。未知量：V_A, V_B。

节点 A 的 KCL

经电阻流出 A 的电流等于电源注入 A 的电流。

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/10 + (V_A − 5)/2 + (V_A − V_B)/2 = 0

1.1·V_A − 0.5·V_B = 2.5

节点 B 的 KCL

经电阻流出 B 的电流等于电源注入 B 的电流。

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/25 + (V_B − V_A)/2 + (V_B − 24)/30 = 4

−0.5·V_A + 0.5733·V_B = 4.8

求解

Δ = (1.1)(0.5733) − (−0.5)(−0.5) = 0.3807

V_A = Δ₁/Δ = 3.833/0.3807 = 10.07 V

V_B = Δ₂/Δ = 6.53/0.3807 = 17.15 V

答案

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (10.07 − 17.15)/2 = −3.542 A

5.网孔分析

答案: I₂ = −0.4464 A

网孔分析法：给平面电路的每个窗口设一个回路电流，沿每个回路列基尔霍夫电压定律（电压降之和 = 电压升之和）并求解。支路电流就是网孔电流，或共用支路上两个网孔电流之差。

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 20(I₁ − I₂) = 10

30·I₁ − 20·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

12·I₂ + 20(I₂ − I₁) = (−15)

−20·I₁ + 32·I₂ = −15

求解

Δ = (30)(32) − (−20)(−20) = 560

I₁ = Δ₁/Δ = 20/560 = 0.03571 A

I₂ = Δ₂/Δ = −250/560 = −0.4464 A

答案

I₂ = −0.4464 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

6.网孔分析

答案: I₃ = −2.03 A

设定网孔电流

在每个窗口画一个顺时针电流：I₁, I₂, I₃。两个网孔共用的电阻流过两者电流之差。

网孔 1 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

25·I₁ + 3(I₁ − I₂) = 10

28·I₁ − 3·I₂ = 10

网孔 2 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

2·I₂ + 3(I₂ − I₁) + 6(I₂ − I₃) = 0

−3·I₁ + 11·I₂ − 6·I₃ = 0

网孔 3 的 KVL

顺时针绕行时，电阻上的电压降等于电源的电压升（沿绕行方向从 − 到 +）。

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

2·I₃ + 6(I₃ − I₂) = (−10)

−6·I₂ + 8·I₃ = −10

求解

Δ = 系数矩阵的行列式 = 1384

I₁ = Δ₁/Δ = 340/1384 = 0.2457 A

I₂ = Δ₂/Δ = −1440/1384 = −1.04 A

I₃ = Δ₃/Δ = −2810/1384 = −2.03 A

答案

I₃ = −2.03 A

网孔电流为负表示逆时针流动。

7.叠加定理

答案: V_R2 = −17.36 V

叠加定理：在线性电路中，任何电压或电流都等于各独立源单独作用时响应之和。要置零一个电源，将理想电压源换成短路，理想电流源换成开路。电阻保持不变。

情况 1 · V₁ 单独作用

Iₛ 变为开路，因此 R₃ 和 R₄ 构成一条从 A 到地的串联支路，与 R₂ 并联。

R₃+R₄ = 20+2 = 22 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 6·22/(6+22) = 4.714 Ω

V_A = 24·4.714/(2+4.714) = 16.85 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 16.85·2/22 = 1.532 V

V_R2′ = 0 − V_A = 0 − 16.85 = −16.85 V

情况 2 · I_s 单独作用

V₁ 变为短路，因此 R₁ 与 R₂ 并联。Iₛ 在 B 点分流到 R₄ 和经过 R₃ 的路径。

R₁ ∥ R₂ = 2·6/(2+6) = 1.5 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 2 ∥ 21.5 = 1.83 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·1.83 = 7.319 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 7.319·1.5/21.5 = 0.5106 V

V_R2″ = 0 − V_A = 0 − 0.5106 = −0.5106 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″

V_R2 = (−16.85) + (−0.5106) = −17.36 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

8.叠加定理

答案: V_R2 = −8.133 V

情况 1 · V₁ 单独作用

V₂ 变为短路，Iₛ 变为开路。从 A 看去，R₃ 与串联的 R₂+R₄ 并联。

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 2 ∥ 8 = 1.6 Ω

V_A = 15·1.6/(15+1.6) = 1.446 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 1.446·2/8 = 0.3614 V

V_R2′ = V_A − V_B = 1.446 − 0.3614 = 1.084 V

情况 2 · I_s 单独作用

两个电压源都变为短路。Iₛ 在 B 点分流到 R₄（现在接地）和与 R₁ ∥ R₃ 串联的 R₂。

R₁ ∥ R₃ = 1.765 Ω，所以左侧路径为 R₂+1.765 = 7.765 Ω

R_eq = R₄ ∥ 7.765 = 1.59 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2.5·1.59 = 3.976 V

V_A = V_B·1.765/7.765 = 0.9036 V

V_R2″ = V_A − V_B = 0.9036 − 3.976 = −3.072 V

情况 3 · V₂ 单独作用

V₁ 变为短路，Iₛ 变为开路。R₁ ∥ R₃ 接在 A 上，再与 R₂ 串联回到 B。

R₁ ∥ R₃ = 15·2/(15+2) = 1.765 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = 10·7.765/9.765 = 7.952 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = 7.952·1.765/7.765 = 1.807 V

V_R2‴ = V_A − V_B = 1.807 − 7.952 = −6.145 V

叠加各分量

V_R2 = V_R2′ + V_R2″ + V_R2‴

V_R2 = 1.084 + (−3.072) + (−6.145) = −8.133 V

结果为负表示实际上极性与标注相反。

9.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.3086 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 12·5/(12+5) = 3.529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.529 + 6 = 9.529 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·5/(12+5) = 2.941 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 2.941/9.529 = 0.3086 A

10.戴维南和诺顿

答案: P_L = 25.35 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·10/(3+10) = 2.308 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.308 + 25 = 27.31 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 13.85 + 2·2.308 = 18.46 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 18.46 + 2·25 = 68.46 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 68.46/(27.31 + 6) = 2.055 A

P_L = I_L²·R_L = 2.055²·6 = 25.35 W

11.运放电路

答案: R_f = 110 kΩ

理想运放规则：在负反馈下，运放调节输出使两个输入端电压相等 (V₋ = V₊)，且没有电流流入任一输入端。利用这两点在反相输入端列 KCL 即可得到输出。

同相放大器的增益

V₋ = V₊ = V_in，且流过 R₁ 的电流也流过 R_f，所以 V_out = V_in·(1 + R_f/R₁)。

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (6 − 1)·22 = 110 kΩ

答案

R_f = 110 kΩ

12.运放电路

答案: V_out = −2.273 V

输入电流

V₋ = 0，所以每个输入电阻两端就是其全部输入电压。

I₁ = V₁/R₁ = 1.7/22 = 0.07727 mA

I₂ = V₂/R₂ = 0.3/2 = 0.15 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0.2273 mA

输出电压

V_out = −R_f·I_f = −10·0.2273 = −2.273 V

答案

V_out = −2.273 V

13.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.09733 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0.12 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.12·(1 − e^−5/3) = 0.09733 A

答案

i = 0.09733 A

14.RC 和 RL 暂态

答案: i = 4.631 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 24/(5 + 10) = 1.6 A

i(∞) = 24/5 = 4.8 A

τ = L/R = 68/5 = 13.6 ms

i(t) = 4.8 + (1.6 − 4.8)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(40) = 4.8 + (−3.2)·e^−40/13.6 = 4.631 A

答案

i = 4.631 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1

电路分析（一）：速成包

1公式与方法

串并联电阻

方法

节点分析

方法

网孔分析

方法

叠加定理

方法

戴维南和诺顿

方法

运放电路

RC 和 RL 暂态

方法

2练习题

3溶液

从远端开始合并电阻

答案

从远端开始合并电阻

电源电流

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定节点

节点 A 的 KCL

节点 B 的 KCL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

求解

答案

设定网孔电流

网孔 1 的 KVL

网孔 2 的 KVL

网孔 3 的 KVL

求解

答案

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

叠加各分量

情况 1 · V1 单独作用

情况 2 · Is 单独作用

情况 3 · V2 单独作用

叠加各分量

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

同相放大器的增益

答案

输入电流

输出电压

答案

时间常数和终值电流

给定时刻的电流

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 1 · V₁ 单独作用

情况 2 · I_s 单独作用

情况 3 · V₂ 单独作用

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th